Question

【题目】如图1，抛物线与铀交于，与轴交于抛物线的顶点为直线过交轴于．

（1）写出的坐标和直线的解析式；

（2）是线段上的动点(不与重合)，轴于设四边形的面积为，求与之间的两数关系式，并求的最大值；

（3）点在轴的正半轴上运动，过作轴的平行线，交直线于交抛物线于连接，将沿翻转，的对应点为.在图2中探究：是否存在点；使得恰好落在轴？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2），当时，有最大值，最大值为；（3）存在．点的坐标为或．

【解析】

（1）先把抛物线解析式配成顶点式即可得到D点坐标，再求出C点坐标，然后利用待定系数法求直线l的解析式；

（2）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（3，0），再利用待定系数法求出直线BD的解析式为y=-2x+6，则P（x，-2x+6），然后根据梯形的面积公式可得，再利用二次函数的性质求S的最大值；

（3）如图2，设Q（t，0）（t＞0），则可表示出，利用两点间的距离公式得到，，然后证明NM=CM得到，再解绝对值方程求满足条件的t的值，从而得到点Q的坐标．

，

当时，

则，

设直线的解析式为，

把分别代入得

解得，

直线的解析式为；

当时，，

解得，

则

设直线的解析式为

把分别代入得，

解得，

直线的解析式为

则，

，

当时，有最大值，最大值为；

存在．

如图2，设，

则

，

，

沿翻转，的对应点为落在轴上，

，

∵轴，

当，

解得(舍去)，，

此时点坐标为；

当，

解得：(舍去)，，

此时点坐标为，

综上所述：点的坐标为或．