【题目】如图,等腰三角形 ABC 中,AC=BC=13,AB=10.以 BC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D,交 AC 于点 G,DF⊥AC,垂足为 F,交 CB 的延长线于点 E.
(1)求证:直线 EF 是⊙O 的切线;
(2)求 sin∠E 的值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)求证直线EF是⊙O的切线,只要连接OD证明OD⊥EF即可;
(2)根据∠E=∠CBG,可以把求sin∠E的值得问题转化为求sin∠CBG,进而转化为求Rt△BCG中,两边的比的问题.
(1)证明:方法1:连接OD、CD.
∵BC是直径,
∴CD⊥AB.
∵AC=BC.
∴D是AB的中点.
∵O为CB的中点,
∴OD∥AC.
∵DF⊥AC,
∴OD⊥EF.
∴EF是O的切线.
方法2:∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC,
∵OB=OD,
∴∠DBO=∠BDO,
∵∠A+∠ADF=90°
∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°.
即∠EDO=90°,
∴OD⊥ED
∴EF是O的切线.
(2)解:连BG.
∵BC是直径,
∴∠BDC=90°.
∵AC=BC=13,AB=10
∴AD=AB=5
∴CD=
∵ABCD=2S△ABC=ACBG,
∴BG==
.
∴CG=.
∵BG⊥AC,DF⊥AC,
∴BG∥EF.
∴∠E=∠CBG,
∴sin∠E=sin∠CBG==
.
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【题目】某超市预测某饮料有发展前途,用1600元购进一批饮料,面市后果然供不应求,又用6000元购进这批饮料,第二批饮料的数量是第一批的3倍,但单价比第一批贵2元.
(1)第一批饮料进货单价多少元?
(2)若二次购进饮料按同一价格销售,两批全部售完后,获利不少于1200元,那么销售单价至少为多少元?
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【题目】已知:抛物线:
(
、
、
为常数,且
)与
轴分别交于
,
两点,与
轴交于点
.
(1)求抛物线的表达式;
(2)将平移后得到抛物线
,点
、
在
上(点
在点
的上方),若以点
、
、
、
为顶点的四边形是正方形,求抛物线
的解析式.
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【题目】为了庆祝中华人民共和国成立70周年,某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛,某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩(满分为100分,得分为正整数且无满分,最低为75分)分成五组,并绘制了下列不完整的统计图表.
分数段 | 频数 | 频率 |
74.5~79.5 | 2 | 0.05 |
79.5~84.5 | m | 0.2 |
84.5~89.5 | 12 | 0.3 |
89.5~94.5 | 14 | n |
94.5~99.5 | 4 | 0.1 |
(1)表中m=__________,n=____________;
(2)请在图中补全频数直方图;
(3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数,据此推测他的成绩落在_________分数段内;
(4)选拔赛中,成绩在94.5分以上的选手,男生和女生各占一半,学校从中随机确定2名选手参加全市决赛,请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知点P0的坐标为(2,0),将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1,延长OP1到点P2,使OP2=2OP1,再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3,则点P3的坐标是_____.
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【题目】有一块锐角三角形卡纸余料ABC,它的边BC=120cm,高AD=80cm,为使卡纸余料得到充分利用,现把它裁剪成一个邻边之比为2:5的矩形纸片EFGH和正方形纸片PMNQ,裁剪时,矩形纸片的较长边在BC上,正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH上,其余顶点均分别在AB,AC上,具体裁剪方式如图所示。
(1)求矩形纸片较长边EH的长;
(2)裁剪正方形纸片时,小聪同学是按以下方法进行裁剪的:先沿着剩余料中与边EH平行的中位线剪一刀,再沿过该中位线两端点向边EH所作的垂线剪两刀,请你通过计算,判断小聪的剪法是否正确.
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【题目】参照学习函数的过程与方法,探究函数的图象与性质列表:
描点:在平面直角坐标系中,以自变量x的取值为横坐标,以相应的函数值为纵坐标,描出相应的点,如图所示:
(1)请补全函数图象:
(2)观察图象并分析表格,回答下列问题:
①当时,y随x的增大而_________;(填“增大”或“减小”)
②图象关于点__________中心对称.(填点的坐标)
③当时,
的最小值是_________.
(3)结合函数图象,当时,求x的取值范围.
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