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【题目】如图,RtABC,BAC=90,AB=6,AC=8,D为边BC的中点,P为射线AB上的一动点,Q为边AC上的一动点,且∠PDQ=90.

(1)DPAB时,求CQ的长;

(2)BP=2,求CQ的长;

(3)连结AD,若AD平分∠PDQ,求DPDQ.

【答案】(1)4;(2)CQ的长为;(34:3

【解析】

1)首先证明DQAB,根据平行线等分线段定理即可解决问题.

2)分情况讨论,①中,当点P在线段AB上时,作DMAB,DNAC,由相似推出QN=,推出PM=BMPB=1,再推出QN=;②中,当点PAB的延长线上,根据PM,QN的值,CQ=QN+CN计算即可.

3)首先证明四边形AMDN是正方形,由全等推出PM=NQ,推出PD+DQ的值,再由(2)结论即可计算.

(1)如图1中,

DPABDQDP

DQAB

BD=DC

CQ=AQ=4.

(2)①如图2中,当点P在线段AB上时,作DMABDNAC,垂足分别为MN

则四边形AMDN是矩形,DMDN分别是ABC的中位线,DM=4DN=3

∵∠PDQ=MDN=90°,

∴∠PDM=QDN,∵∠DNQDMP=90°,

∴△PDM∽△QDN

= =

QN=PM

PM=BMPB=32=1

QN=

CQ=QN+CN=+4=.

②如图3,当点PAB的延长线上时,PM=5,QN=,CQ=QN+CN=4+=

综上所述,BP=2,CQ的长为.

(3)如图4中,作AMDPMANDQN.

AD平分∠PDQ

AM=AN

∵∠AMD=AND=MDN=90

∴四边形AMDN是矩形,∵AM=AN

∴四边形AMDN是正方形,

∴∠MAN=90DM=DN

∵∠BAC=MAN=90

∴∠PAM=NAQ

∴△APM≌△AQN

PM=NQ

AB=6AC=8

BC= =10AD=5

PD+DQ=(PM+MD)+(DNQN)=2DM=AD=

(2)可知PD:QD=4:3

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