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【题目】1)如图1,点P是正方形ABCD内的一点,把ABP绕点B顺时针方向旋转,使点A与点C重合,点P的对应点是Q.若PA3PB2PC5,求∠BQC的度数.

2)点P是等边三角形ABC内的一点,若PA12PB5PC13,求∠BPA的度数.

【答案】1135°;(2150°

【解析】

1)根据题意得出△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°,才使点AC重合,进而得出∠PBQ=90°,再利用勾股定理得出∠PQC的度数,进而求出∠BQC的度数;

2)将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBP',由旋转知,△APB≌△CP'B,即∠BPA=BP'CP'B=PB=5P'C=PA=12,进而得出△PBP'也是正三角形,即∠PP'B=60°,PP'=5

在△PP'C中,由勾股定理的逆定理得出∠PP'C=90°,从而可以得出结论.

1)连接PQ

由旋转可知:QC=PA=3

又∵ABCD是正方形,

∴△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°,才使点AC重合,

即∠PBQ=90°,∴∠PQB=45°,PQ=4

则在△PQC中,PQ=4QC=3PC=5,∴PC2=PQ2+QC2

即∠PQC=90°.

故∠BQC=90°+45°=135°.

2)将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBP'

此时点P的对应点是点P'

由旋转知,△APB≌△CP'B,即∠BPA=BP'CP'B=PB=5P'C=PA=12

又∵△ABC是正三角形,∴∠ABP+PBC=60°,

∴∠CBP'+PBC=60°,∴∠PBP'=60°.

又∵P'B=PB=5,∴△PBP'也是正三角形,即∠PP'B=60°,PP'=5

在△PP'C中,∵PC=13PP'=5P'C=12,∴PC2=PP'2+P'C2

即∠PP'C=90°.

故∠BPA=BP'C=60°+90°=150°.

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