Question

【题目】已知二次函数y＝﹣x2+（m﹣3）x+m．

（1）证明：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；

（2）若该函数的图象与y轴交于点（0，5），求出顶点坐标，并画出该函数图象．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)顶点坐标：（1，6）；函数图像见解析.

【解析】

（1）证明对应的一元二次方程-x2+（m-3）x+m=0的根的判别式大于0，即可作出判断；
（2）把x=0，y=5代入抛物线的解析式，即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值，得到函数的解析式，然后把解析式化成顶点式的形式，即可求解．

证明：（1）令y＝0，﹣x2+（m﹣3）x+m＝0

a＝﹣1，b＝m﹣3，c＝m

b2﹣4ac＝（m﹣3）2﹣4×（﹣1）m＝m2﹣2m+9＝（m﹣1）2+8

∵（m﹣1）2≥0

∴（m﹣1）2+8＞0

∴b2﹣4ac＞0

∴不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点．

（2）把x＝0，y＝5代入

∴m＝5，

∴y＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+6

顶点坐标：（1，6）．