Question

（本题12分）在梯形ABCD中，AB∥CD,∠BCD=90,且AB=1,BC=2，tan∠ADC=2;对角线相交于O点，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C上，使三角板绕点C旋转。

（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想DE与BF的数量关系，并加以证明。
（2）在（1）问条件下，若BE：CE=1：2，∠BEC=135°,求sin∠BFE的值。
（3）当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时，作DH⊥PE于H,如图2，若OF=时，求PE及DH的长。

Answer 1

（1）当三角板旋转到图1的位置时， DE=BF,证明略。
（2）sin∠BFE=。
（3）PE=， DH=。

分析：
（1）相等，证DE与BF所在的三角形全等即可；
（2）易得∠BEF=90°，那么可得到△BEF各边的比值进而求解；
（3）根据△CFP∽△CDO，利用相似三角形的性质解答。
解答：
（1）当三角板旋转到图1的位置时，DE=BF，

∵∠ECB+∠BCF=90°，∠DCE+∠ECB=90°，
∴∠DCE=∠BCF．
∵∠BCD=90°，AB∥CD
∴∠ABC=90°，∠BAC=∠ACD，
∵BC=2，AB=1，
∴tan∠BAC=2，
∵tan∠ADC=2，
∴∠BAC=∠ADC，
∴∠ACD=∠ADC，
∴AD=AC，
作AM⊥CD于点M，
∴CD=2MC=2AB=2，
∴CD=BC．
∵EC=CF，
∴△DCE≌△BCF．
∴DE=BF。
（2）∵∠BEC=135°，∠FEC=45°，
∴∠BEF=90°．
∵BE：CE=1：2，
∴BE：EF=1：2．
∴sin∠BFE=BE：BF=1/3。
（3）

∵△CFP∽△CDO，
CF：CD=CP：CO=PF：DO
AC=，
AO：CO=1：2，CO=2/3，
CF=2/3-/6=/2，
/2：2=CP：2/3，
CP=5/6，
∵DB=2，BO：DO=1：2，
∴DO=4/3，
∴PF=/3，PE=/6。
DP=2-5/6=7/6，
作CN垂直PF于N，
DH：CN=DP：CP，
得DH：7/20。
点评：两条线段相等，通常是证这两条线段所在的三角形全等；注意使用已得到的结论。