Question

12．已知直线y=2x+m与抛物线y=ax²+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；
（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；
（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．
（ⅰ）若-1≤a≤-$\frac{1}{2}$，求线段MN长度的取值范围；
（ⅱ）求△QMN面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；
（Ⅱ）由直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可；
（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）的方程，可求得N点坐标，利用勾股定理可求得MN²，利用二次函数性质可求得MN长度的取值范围；（ii）设抛物线对称轴交直线与点E，则可求得E点坐标，利用S_△QMN=S_△QEN+S_△QEM可用a表示出△QMN的面积，再整理成关于a的一元二次方程，利用判别式可得其面积的取值范围，可求得答案．

解答 解：
（Ⅰ）∵抛物线y=ax²+ax+b过点M（1，0），
∴a+a+b=0，即b=-2a，
∴y=ax²+ax+b=ax²+ax-2a=a（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9a}{4}$，
∴抛物线顶点Q的坐标为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{9a}{4}$）；
（Ⅱ）∵直线y=2x+m经过点M（1，0），
∴0=2×1+m，解得m=-2，
联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax²+（a-2）x-2a+2=0（*）
∴△=（a-2）²-4a（-2a+2）=9a²-12a+4，
由（Ⅰ）知b=-2a，且a＜b，
∴a＜0，b＞0，
∴△＞0，
∴方程（*）有两个不相等的实数根，
∴直线与抛物线有两个交点；
（Ⅲ）联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax²+（a-2）x-2a+2=0，即x²+（1-$\frac{2}{a}$）x-2+$\frac{2}{a}$=0，
∴（x-1）[x-（$\frac{2}{a}$-2）]=0，解得x=1或x=$\frac{2}{a}$-2，
∴N点坐标为（$\frac{2}{a}$-2，$\frac{4}{a}$-6），
（i）由勾股定理可得MN²=[（$\frac{2}{a}$-2）-1]²+（$\frac{4}{a}$-6）²=$\frac{20}{{a}^{2}}$-$\frac{60}{a}$+45=20（$\frac{1}{a}$-$\frac{3}{2}$）²，
∵-1≤a≤-$\frac{1}{2}$，
∴-2≤$\frac{1}{a}$≤-1，
∴MN²随$\frac{1}{a}$的增大而减小，
∴当$\frac{1}{a}$=-2时，MN²有最大值245，则MN有最大值7$\sqrt{5}$，
当$\frac{1}{a}$=-1时，MN²有最小值125，则MN有最小值5$\sqrt{5}$，
∴线段MN长度的取值范围为5$\sqrt{5}$≤MN≤7$\sqrt{5}$；
（ii）如图，设抛物线对称轴交直线与点E，

∵抛物线对称轴为x=-$\frac{1}{2}$，
∴E（-$\frac{1}{2}$，-3），
∵M（1，0），N（$\frac{2}{a}$-2，$\frac{4}{a}$-6），且a＜0，设△QMN的面积为S，
∴S=S_△QEN+S_△QEM=$\frac{1}{2}$|（$\frac{2}{a}$-2）-1|•|-$\frac{9a}{4}$-（-3）|=$\frac{27}{4}$-$\frac{3}{a}$-$\frac{27a}{8}$，
∴27a²+（8S-54）a+24=0（*），
∵关于a的方程（*）有实数根，
∴△=（8S-54）²-4×27×24≥0，即（8S-54）²≥（36$\sqrt{2}$）²，
∵a＜0，
∴S=$\frac{27}{4}$-$\frac{3}{a}$-$\frac{27a}{8}$＞$\frac{27}{4}$，
∴8S-54＞0，
∴8S-54≥36$\sqrt{2}$，即S≥$\frac{27}{4}$+$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
当S=$\frac{27}{4}$+$\frac{9\sqrt{2}}{2}$时，由方程（*）可得a=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$满足题意，
∴当a=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$时，△QMN面积的最小值为$\frac{27}{4}$+$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、勾股定理、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得N点的坐标是解题的关键，在最后一小题中用a表示出△QMN的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．