Question

【题目】如图，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．

（1）求抛物线的函数解析式．

（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC=DE，求出点D的坐标．

（3）在第二问的条件下，射线DE上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）（0，﹣1）；（3）满足条件的点P共有2个，其坐标分别为（，﹣2）、（3，﹣10）．

【解析】

试题（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组求出b、c的值，即可得解；
（2）令y=0，利用抛物线解析式求出点C的坐标，设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，利用勾股定理列式表示出DC2与DE2，然后解方程求出m的值，即可得到点D的坐标；
（3）根据点C、D、E的坐标判定△COD和△DFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EDF=∠DCO，然后求出CD⊥DE，再利用勾股定理求出CD的长度，然后①分OC与CD是对应边；②OC与DP是对应边；根据相似三角形对应边成比例列式求出DP的长度，过点P作PG⊥y轴于点G，分别求出DG、PG的长度，结合平面直角坐标系即可写出点P的坐标．

试题解析：

（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3），

∴ ，

解得，

故抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；

（2）令x2﹣2x﹣3=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

则点C的坐标为（3，0），

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴点E坐标为（1，﹣4），

设点D的坐标为（0，m），

∵DC2=OD2+OC2=m2+32，DE2=DF2+EF2=（m+4）2+12，

∵DC=DE，

∴m2+9=m2+8m+16+1，

解得m=﹣1，

∴点D的坐标为（0，﹣1）；

（3）作EF⊥y轴于F．

∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），

∴CO=DF=3，DO=EF=1，

根据勾股定理，CD=，

在△COD和△DFE中，

∵ ，

∴△COD≌△DFE（SAS），

∴∠EDF=∠DCO，

又∵∠DCO+∠CDO=90°，

∴∠EDF+∠CDO=90°，

∴∠CDE=180°﹣90°=90°，

∴CD⊥DE，

①分OC与CD是对应边时，

∵△DOC∽△PDC，

∴ ，

即，

解得DP=，

过点P作PG⊥y轴于点G，

则 ，

即 ，

解得DG=1，PG=，

OG=DO+DG=1+1=2，

所以，点P（，﹣2）；

②OC与DP是对应边时，

∵△DOC∽△CDP，

∴ ，

即 ，

解得DP=3，

过点P作PG⊥y轴于点G，

则，

即 ，

解得DG=9，PG=3，

OG=OD+DG=1+9=10，

所以，点P的坐标是（3，﹣10），

综上所述，满足条件的点P共有2个，其坐标分别为（，﹣2）、（3，﹣10）．