Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC，分别与AB，AC交于点G，F（说明：在有一个锐角为30°的直角三角形中，30°角所对的直角边长是斜边长的一半．）
（1）求证：△AEC≌△DFC；
（2）求证：△DGB为正三角形；
（3）若ED=1，求四边形FGEC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得到∠CFD=90°，由CD⊥AB，得到∠AEC=90°，于是推出△AEC≌△DFC；
（2）根据全等三角形的性质得到CE=CF，∠FDC=∠A=30°，于是得到AF=DE，根据直角三角形的性质得到∠DGB=60°，CE=$\frac{1}{2}$AC，求出CF=$\frac{1}{2}$AC，根据等腰三角形的性质得到∠BDE=∠BCE=30°，得到∠BDG=60°，即可得到结论；
（3）由已知条件的CF=1，根据直角三角形的性质得到DF=$\sqrt{3}$，EG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵DF∥BC，∠ACB=90°，
∴∠CFD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AEC=90°，
在△AEC和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=CFD}\\{∠ACE=∠DCF}\\{DC=AC}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△DFC；

（2）证明：∵△AEC≌△DFC，
∴CE=CF，∠FDC=∠A=30°，
∴AF=DE，
∵AB⊥CD，
∴∠DGB=60°，CE=$\frac{1}{2}$AC，
∴CF=$\frac{1}{2}$AC，
∴AF=CF，
∴CE=DE，
∴BC=BD，
∴∠BDE=∠BCE=30°，
∴∠BDG=60°，
∴∠GBD=60°，
∴∠BGD=∠GBD=∠GDB，
∴△DGB是等边三角形；

（3）解：∵DE=1，
∴CF=1，
∵∠EDG=30°，
∴DF=$\sqrt{3}$，EG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴四边形FGEC的面积=S_△DCF-S_△DEG=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}×$1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题综合运用了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质；用到的知识点为：直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半．