Question

【题目】如图，△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠PDE=90°．

（1）若将△DEP的顶点P放在BC上（如图1），PD、PE分别与AC、AB相交于点F、G．求证：△PBG∽△FCP；

（2）若使△DEP的顶点P与顶点A重合（如图2），PD、PE与BC相交于点F、G．试问△PBG与△FCP还相似吗？为什么？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）△PBG与△FCP相似

【解析】试题分析：（1）已知△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，即可得∠B=∠C=∠DPE=45°，∠BPG+∠CPF=135°；在△BPG中，∠B=45°，∠BPG+∠BGP=135°，由此可得∠BGP=∠CPF，再由∠B=∠C，根据两角对应相等的两个三角形相似即可得△PBG∽△FCP；（2）△PBG与△FCP相似，由△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，可得∠B=∠C=∠DPE=45°，又因∠BGP=∠C+∠CPG=45°+∠CAG，∠CPF=∠FPG+∠CAG=45°+∠CAG，所以∠AGP=∠CPF，再由∠B=∠C，根据两角对应相等的两个三角形相似即可得△PBG∽△FCP．

试题解析：

（1）证明：如图1，

∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=∠DPE=45°，

∴∠BPG+∠CPF=135°，

在△BPG中，∵∠B=45°，

∴∠BPG+∠BGP=135°，

∴∠BGP=∠CPF，

∵∠B=∠C，

∴△PBG∽△FCP；

（2）△PBG与△FCP相似．理由如下：

如图2，∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=∠DPE=45°，

∵∠BGP=∠C+∠CPG=45°+∠CAG，

∠CPF=∠FPG+∠CAG=45°+∠CAG，

∴∠AGP=∠CPF，

∵∠B=∠C，

∴△PBG∽△FCP．