Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O是正方形OABC的一个顶点，已知点B坐标为（1，7），过点P（a，0）（a＞0）作PE⊥x轴，与边OA交于点E（异于点O、A），将四边形ABCE沿CE翻折，点A′、B′分别是点A、B的对应点，若点A′恰好落在直线PE上，则a的值等于（ ）
A.
B.
C.2
D.3

Answer 1

【答案】C
【解析】解：当点A′恰好落在直线PE上，如图所示， 连接OB、AC，交于点D，过点D、A作x轴的垂线，垂足分别为Q、N，设CB′交x轴于M，则CM∥QD∥AN，
∵四边形OABC是正方形，
∴OD=BD，OB⊥AC，
∵O（0，0），B（1，7），
∴D（ ， ），即DQ=
由勾股定理得：OB= = =5 ，
∵△ABO是等腰直角三角形，
∴AB=AO=5，
∵DQ是梯形CMNA的中位线，
∴CM+AN=2DQ=7，
∵∠COA=90°，
∴∠COM+∠AON=90°，
∵∠CMO=90°，
∴∠COM+∠MCO=90°，
∴∠AON=∠MCO，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=OC，
∵∠CMO=∠ONA=90°，
∴△CMO≌△ONA，
∴ON=CM，
∴ON+AN=7，
设AN=x，则ON=7﹣x，
在Rt△AON中，由勾股定理得：x2+（7﹣x）2=52 ，
解得：x=3或4，
当x=4时，CM=3，
此时点B在第二象限，不符合题意，
∴x=3，
∴OM=3，
∵A′B′=PM=5，
∴OP=a=2，
故选C．

【考点精析】解答此题的关键在于理解正方形的性质的相关知识，掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形，以及对翻折变换（折叠问题）的理解，了解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等．