【题目】已知A(1,0)、B(0,﹣1)、C(﹣1,2)、D(2,﹣1)、E(4,2)五个点,抛物线y=a(x﹣1)2+k(a>0)经过其中的三个点.
(1)求证:C、E两点不可能同时在抛物线y=a(x﹣1)2+k(a>0)上;
(2)点A在抛物线y=a(x﹣1)2+k(a>0)上吗?为什么?
(3)求a和k的值.
【答案】
(1)解:∵抛物线y=a(x﹣1)2+k的对称轴为x=1,
而C(﹣1,2),E(4,2)两点纵坐标相等,
由抛物线的对称性可知,C、E关于直线x=1对称,
又∵C(﹣1,2)与对称轴相距2,E(4,2)与对称轴相距3,
∴C、E两点不可能同时在抛物线上
(2)解:假设点A(1,0)在抛物线y=a(x﹣1)2+k(a>0)上,
则a(1﹣1)2+k=0,解得k=0,
因为抛物线经过5个点中的三个点,
将B(0,﹣1)、C(﹣1,2)、D(2,﹣1)、E(4,2)代入,
得出a的值分别为a=﹣1,a= ,a=﹣1,a= ,
所以抛物线经过的点是B,D,
又因为a>0,与a=﹣1矛盾,
所以假设不成立.
所以A不在抛物线上
(3)解:将D(2,﹣1)、C(﹣1,2)两点坐标代入y=a(x﹣1)2+k中,得
,
解得 ,
或将E、D两点坐标代入y=a(x﹣1)2+k中,得
,
解得 ,
综上所述, 或
【解析】(1)由抛物线y=a(x﹣1)2+k可知,抛物线对称轴为x=1,而C(﹣1,2),E(4,2)两点纵坐标相等,应该关于直线x=1对称,但C(﹣1,2)与对称轴相距2,E(4,2)与对称轴相距3,故不可能;(2)假设A点在抛物线上,得出矛盾排除A点在抛物线上;(3)B、D两点关于对称轴x=1对称,一定在抛物线上,另外一点可能是C点或E点,分别将C、D或D、E两点坐标代入求a和k的值.
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【题目】为迎接建党90周年,某校组织了以“党在我心中”为主题的电子小报制作比赛,评分结果只有60,70,80,90,100五种.现从中随机抽取部分作品,对其份数及成绩进行整理,制成如下两幅不完整的统计图.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)求本次抽取了多少份作品,并补全两幅统计图;
(2)已知该校收到参赛作品共900份,请估计该校学生比赛成绩达到90分以上(含90分)的作品有多少份?
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【题目】“一根弹簧原长10cm,在弹性限度内最多可挂质量为5kg的物体,挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比, ,则弹簧的总长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式为y=10+0.5x(0≤x≤5).”王刚同学在阅读上面材料时发现部分内容被墨迹污染,被污染的部分是确定函数关系式的一个条件,你认为该条件可以是:(只需写出1个).
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【题目】如图,已知四边形ABCD是梯形,AD∥BC,∠A=90°,BC=BD,CE⊥BD,垂足为E.
(1)求证:△ABD≌△ECB;
(2)若∠DBC=50°,求∠DCE的度数.
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【题目】巳知二次函数y=a(x2﹣6x+8)(a>0)的图象与x轴分别交于点A、B,与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.
(1)如图①.连接AC,将△OAC沿直线AC翻折,若点O的对应点0'恰好落在该抛物线的 对称轴上,求实数a的值;
(2)如图②,在正方形EFGH中,点E、F的坐标分别是(4,4)、(4,3),边HG位于边EF的 右侧.小林同学经过探索后发现了一个正确的命题:“若点P是边EH或边HG上的任意一点,则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等 (即这四条线段不能构成平行四边形).“若点P是边EF或边FG上的任意一点,刚才的结论是否也成立?请你积极探索,并写出探索过程;
(3)如图②,当点P在抛物线对称轴上时,设点P的纵坐标t是大于3的常数,试问:是否存在一个正数a,使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等 (即这四条线段能构成平行四边形)?请说明理由.
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【题目】如图,某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度.他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量,在点C处测得塔顶B的仰角为45°,在点E处测得B的仰角为37°(B、D、E三点在一条直线上).求电视塔的高度h.
(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,坐标原点O是正方形OABC的一个顶点,已知点B坐标为(1,7),过点P(a,0)(a>0)作PE⊥x轴,与边OA交于点E(异于点O、A),将四边形ABCE沿CE翻折,点A′、B′分别是点A、B的对应点,若点A′恰好落在直线PE上,则a的值等于( )
A.
B.
C.2
D.3
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【题目】某校为更好地开展“传统文化进校园”活动,随机抽查了部分学生,了解他们最喜爱的传统文化项目类型(分为书法、围棋、戏剧、国画共4类),并将统计结果绘制成如图不完整的频数分布表及频数分布直方图. 最喜爱的传统文化项目类型频数分布表
项目类型 | 频数 | 频率 |
书法类 | 18 | a |
围棋类 | 14 | 0.28 |
喜剧类 | 8 | 0.16 |
国画类 | b | 0.20 |
根据以上信息完成下列问题:
(1)直接写出频数分布表中a的值;
(2)补全频数分布直方图;
(3)若全校共有学生1500名,估计该校最喜爱围棋的学生大约有多少人?
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