Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线G：与轴交于点C，抛物线G的顶点为D，直线：．

（1）当时，直接写出直线被抛物线G截得的线段长；

（2）随着取值的变化，判断点C，D是否都在直线上；

（3）若直线被被抛物线G截得的线段长不小于，结合函数图像，直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点D，C始终在直线上；（3）或．

【解析】

（1）当m=1时，抛物线G的函数表达式为y=x2+2x，直线的函数表达式为y=x，求两函数的交点，即可求出抛物线G截得的线段的长；
（2）先求出C、D两点的坐标，再代入直线的解析式进行检验即可；
（3）先联立直线与抛物线的解析式，求出它们的交点坐标，再根据这两个交点之间的距离不小于2列出不等式，求解即可．

（1）当m=1时，抛物线G的函数表达式为y=x2+2x，直线的函数表达式为y=x，

联立得，解得或．

所以两函数的交点坐标为：和，

∴直线被抛物线G截得的线段长为；

（2）无论m取何值，点C，D都在直线上．理由如下：
∵抛物线G：y=mx2+2mx+m-1（m≠0）与y轴交于点C，
∴点C的坐标为C（0，m-1），
∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，
∴抛物线G的顶点D的坐标为（-1，-1），
对于直线：y=mx+m-1（m≠0），
当x=0时，y=m-1，
当x=-1时，y=m·(-1)+m-1=-1，
∴无论m取何值，点C，D都在直线上；

（3）解方程组，

得，或，

∴直线与抛物线G的交点为（0，m-1），（-1，-1）．
∵直线被抛物线G截得的线段长不小于，

∴，

，

，

∴或．