Question

9．已知：如图1，射线MN⊥AB，AM=1cm，MB=4cm．点C从M出发以2cm/s的速度沿射线MN运动，设点 C的运动时间为t（s）

（1）当△ABC为等腰三角形时，求t的值；
（2）当△ABC为直角三角形时，求t的值；
（3）当t满足条件：0＜t＜1时，△ABC为钝角三角形； 当t＞1时，△ABC为锐角三角形．

Answer 1

分析 （1）分CB=AB、AB=AC和AC=BC三种情况，根据等腰三角形的性质和勾股定理计算即可；
（2）根据勾股定理列式计算；
（3）由（2）的结论结合图形解答．

解答 解：（1）当CB=AB时，
在Rt△MCB，BC=5，BM=4，
由勾股定理得：MC=3，
则t=$\frac{3}{2}$，
当AB=AC时，
在Rt△MCA，AM=1，AC=5，
由勾股定理得：MC=2$\sqrt{6}$，则t=$\sqrt{6}$，
当AC=BC时，C在AB的垂直平分线上，与条件不合；
∴当t=$\frac{3}{2}$或$\sqrt{6}$时，△ABC为等腰三角形；
（2）由题意∠ACB=90°时，
∴AC²+BC²=AB²，
设CM=x，在Rt△MCB中由勾股定理得：BC²=x²+4²，
在Rt△MCA中，由勾股定理得：AC²=x²+1²，
∴x²+4²+x²+1²=5²
x=2，
则t=1；
（3）∵当t=1时，△ABC为直角三角形，
∴0＜t＜1时，△ABC为钝角三角形；
t＞1时，△ABC为锐角三角形．
故答案为：0＜t＜1；t＞1．

点评 本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²，注意分情况讨论思想的运用．