Question

4．如图，AB是⊙O的直径，弦BC长为$4\sqrt{2}$，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和AD的长．

Answer 1

分析 由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后由勾股定理求得AB的长，又由CD平分∠ACB，可得△ABD是等腰直角三角形，继而求得答案．

解答 解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵弦BC长为$4\sqrt{2}$，弦AC长为2，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=6；
∵CD平分∠ACB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
∴∠BAD=45°，
∴AD=AB•cos45°=$3\sqrt{2}$．

点评 此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．注意直径所对的圆周角是直角定理的应用是解此题的关键．