Question

如图，已知在⊙O中，AB，CD两弦互相垂直于点E，AB被分成4cm和10cm两段．
（1）求圆心O到CD的距离；
（2）若⊙O半径为8cm，求CD的长是多少？

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：（1）过点O分别作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，易知四边形ONEM是矩形，所以ON=EM，再根据垂径定理和已知数据求出EM的长即可得到ON的长，即圆心O到CD的距离；
（2）连接OD，先根据勾股定理求出ND的长，再由垂径定理即可得出CD的长．

解答：解：（1）过点O分别作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，则∠ONE=∠OME=90°，
∵AB⊥CD，
∴∠NEM=90°，
∴四边形ONEM是矩形，
∴ON=EM．
∵OM⊥AB，
∴AM=

1

2

AB=

1

2

（4+10）=7cm，
∴EM=7-4=3cm，
∴ON=3cm，即圆心O到CD的距离为3cm；

（2）连接OD，
∵ON⊥CD，
∴ND=

1

2

CD，
∵ON=3cm，OD=8cm，
∴ND=

82-32

=

55

，
∴CD=2

55

．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．