Question

9．定义：如果二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（-1，0），那么称此二次函数图象为“线性曲线”．例如：二次函数y=2x²-5x-7和y=-x²+3x+4的图象都是“线性曲线”．若“线性曲线”y=x²-mx+1-2k与坐标轴只有两个公共点，则k的值0或$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 抛物线与y轴一定有一个公共点，根据新定义得到抛物线y=x²-mx+1-2k经过点（-1，0），则分类讨论：若抛物线过原点，则1-2k=0，可解得k=$\frac{1}{2}$；若点（-1，0）为顶点时，利用抛物线对称轴方程易得m=-2，再根据二次函数图象上点的坐标特征得到1+m+1-2k=0，然后把m=-2代入可计算出对应k的值．

解答 解：因为抛物线y=x²-mx+1-2k经过点（-1，0），
所以当抛物线过原点时，抛物线y=x²-mx+1-2k与坐标轴只有两个公共点，此时1-2k=0，解得k=$\frac{1}{2}$；
当点（-1，0）为顶点时，抛物线y=x²-mx+1-2k与坐标轴只有两个公共点，则-$\frac{-m}{2}$=-1，解得m=-2，
把（-1，0）代入y=x²-mx+1-2k得1+m+1-2k=0，
所以2-2-2k=0，解得k=0，
综上所述，k的值为0或$\frac{1}{2}$．
故答案为0或$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．