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【题目】如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的O分别交线段BC,AC于点D,E,过点D作DFAC,垂足为F,线段FD,AB的延长线相交于点G.

(1)求证:DF是O的切线;

(2)若CF=1,DF=,求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】

试题分析:(1)连接AD、OD,由AB为直径可得出点D为BC的中点,由此得出OD为BAC的中位线,再根据中位线的性质即可得出ODDF,从而证出DF是O的切线;

(2)CF=1,DF=,通过解直角三角形得出CD=2、C=60°,从而得出ABC为等边三角形,再利用分割图形求面积法即可得出阴影部分的面积.

试题解析:(1)证明:连接AD、OD,如图所示.

AB为直径,∴∠ADB=90°,ADBC,AC=AB,点D为线段BC的中点.

点O为AB的中点,OD为BAC的中位线,ODAC,DFAC,ODDF,DF是O的切线.

(2)解:在RtCFD中,CF=1,DF=tanC==,CD=2,∴∠C=60°,AC=AB,∴△ABC为等边三角形,AB=4.ODAC,∴∠DOG=BAC=60°,DG=ODtanDOG=S阴影=S△ODG﹣S扇形OBD=DGOD﹣=

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