Question

9．如图，直线y=-$\frac{4}{3}$x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．
（1）写出A，B两点的坐标；
（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；
（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据坐标轴上点的坐标特征计算即可；
（2）根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义用t表示出点Q到AP的距离，根据三角形的面积公式计算即可；
（3）分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况，根据相似三角形的性质定理列出比例式，计算即可．

解答 解：（1）令y=0，则-$\frac{4}{3}$x+8=0，
解得x=6，
x=0时，y=y=8，
∴OA=6，OB=8，
∴点A（6，0），B（0，8）；
（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10，
∵点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位，
∴AP=2t，
AQ=AB-BQ=10-t，
∴点Q到AP的距离为AQ•sin∠OAB=（10-t）×$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$（10-t），
∴△AQP的面积S=$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{4}{5}$（10-t）═-$\frac{4}{5}$t²+8t；
（3）若∠APQ=90°，则cos∠OAB=$\frac{AP}{AQ}$，即$\frac{2t}{10-t}$=$\frac{6}{10}$，
解得t=$\frac{30}{13}$，
若∠AQP=90°，则cos∠OAB=$\frac{AQ}{AP}$，即$\frac{10-t}{2t}$=$\frac{6}{10}$，
解得t=$\frac{50}{11}$，
∵0＜t≤3，
∴t的值为$\frac{30}{13}$，
此时，OP=6-2×$\frac{30}{13}$=$\frac{18}{13}$，
PQ=AP•tan∠OAB=（2×$\frac{30}{13}$）×$\frac{8}{6}$=$\frac{80}{13}$，
∴点Q的坐标为（$\frac{18}{13}$，$\frac{80}{13}$），
综上所述，t=$\frac{30}{13}$秒时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，此时点Q的坐标为（$\frac{18}{13}$，$\frac{80}{13}$）．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用．