Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC边上的一点，CD=6，cos∠ADC=

3

5

，tanB=

2

3

．
（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：

分析：（1）通过解Rt△ACD得到AD边的长度；然后在该直角三角形中利用勾股定理来求AC的长度；然后通过解Rt△ABC可以求得BC的长度，再利用勾股定理求线段AB的长度．
（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E，构建Rt△ADE，通过解该直角三角形来求sin∠BAD的值．

解答：解：（1）如图，在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，CD=6，cos∠ADC=

3

5

，
∴

CD

AD

=

3

5

，即

6

AD

=

3

5

，
则AD=10，
∴由勾股定理知，AC=

AD2-CD2

=

102-62

=8．
又∵tanB=

2

3

，
∴

AC

BC

=

2

3

，即

8

BC

=

2

3

，
则BC=12．
∴在Rt△ABC中，利用勾股定理知，AB=

AC2+BC2

=

82+122

=4

13

．
综上所述，AC=8，AB=4

13

；

（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E．
由（1）易知，BD=6．
∵tanB=

2

3

，
∴

DE

BE

=

2

3

．则BE=

3

2

DE．
则由勾股定理得到：6²=DE²+

9

4

DE²，
解得 DE=

12 13

13

，
∴sin∠BAD=

DE

AD

=

12 13 13

10

=

6 13

65

．

点评：本题考查了解直角三角形．要熟练掌握好边角之间的关系．