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    【题目】如图，在□ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，以大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，得四边形ABEF.

    求证：四边形ABEF是菱形.

    【答案】见解析

    【解析】分析：先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明.

    详解：证明：连接BP、FP由作图知：AB=AF，BP=FP

    在△APB和△APF中，

    ∴△APB≌△APF，∴∠EAB=∠EAF，

    ∵AD∥BC，

    ∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，∴BE=AB=AF．

    ∵AF∥BE，

    ∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=BE，

    四边形ABEF是菱形．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．
    （1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？
    （2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】某校九年级（1）班准备购买大课间活动器材呼啦圈和跳绳，已知购买1根跳绳和2个呼啦圈要35元，购买2根跳绳和1个呼啦圈要25元．
    （1）求每根跳绳、每个呼啦圈各多少元？
    （2）根据班级实际情况，需购买跳绳和呼啦圈的总数量为30，总费用不超过300元，但不低于280元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于E、F，作BH⊥AF于点H，分别交AC、CD于点G、P，连结GE、GF．

    （1）求证：△OAE≌△OBG．

    （2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】解答题
    （1）问题背景
    如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB=AC，P为BmC上一动点（不与B，C重合），求证： PA=PB+PC．

    小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB，AP，AC，且AB=AC，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：
    第一步：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；
    第二步：证明Q，B，P三点共线，进而原题得证．
    请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．
    （2）类比迁移
    如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．

    （3）拓展延伸
    如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB= AC，AB⊥AC，垂足为A，则OC的最小值为 ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为 ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（ +1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．

    （1）分别求出A与C，A与D间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
    （2）已知距离观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】两枚正四面体骰子的各面上分别标有数字1，2，3，4，现在同时投掷这两枚骰子，并分别记录着地的面所得的点数为a、b．
    （1）假设两枚正四面体都是质地均匀，各面着地的可能性相同，请你在下面表格内列举出所有情形（例如（1，2），表示a=1，b=2），并求出两次着地的面点数相同的概率．

    b
    a

    1

    2

    3

    4

    1

    （1，2）

    2

    3

    4


    （2）为了验证试验用的正四面体质地是否均匀，小明和他的同学取一枚正四面体进行投掷试验．试验中标号为1的面着地的数据如下：

    试验总次数

    50

    100

    150

    200

    250

    500

    “标号1”的面着地的次数

    15

    26

    34

    48

    63

    125

    “标号1”的面着地的频率

    0.3

    0.26

    0.23

    0.24

    请完成表格（数字精确到0.01），并根据表格中的数据估计“标号1的面着地”的概率是

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣ x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．

    （1）求抛物线的解析式；
    （2）若PE=5EF，求m的值；
    （3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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