【题目】解答题
(1)问题背景
如图①,BC是⊙O的直径,点A在⊙O上,AB=AC,P为BmC上一动点(不与B,C重合),求证: PA=PB+PC.
小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB,AP,AC,且AB=AC,这就为旋转作了铺垫.于是,小明同学有如下思考过程:
第一步:将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB(如图①);
第二步:证明Q,B,P三点共线,进而原题得证.
请你根据小明同学的思考过程完成证明过程.
(2)类比迁移
如图②,⊙O的半径为3,点A,B在⊙O上,C为⊙O内一点,AB=AC,AB⊥AC,垂足为A,求OC的最小值.
(3)拓展延伸
如图③,⊙O的半径为3,点A,B在⊙O上,C为⊙O内一点,AB= AC,AB⊥AC,垂足为A,则OC的最小值为 .
【答案】
(1)
证明:将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB(如图①);
∵BC是直径,
∴∠BAC=90°,
∵AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=45°,
由旋转可得∠QBA=∠PCA,∠ACB=∠APB=45°,PC=QB,
∵∠PCA+∠PBA=180°,
∴∠QBA+∠PBA=180°,
∴Q,B,P三点共线,
∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°,
∴QP2=AP2+AQ2=2AP2,
∴QP= AP=QB+BP=PC+PB,
∴ AP=PC+PB
(2)
解:如图②中,连接OA,将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△QAB,连接OB,OQ,
∵AB⊥AC
∴∠BAC=90°
由旋转可得 QB=OC,AQ=OA,∠QAB=∠OAC
∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°
∴在Rt△OAQ中,OQ=3 ,AO=3
∴在△OQB中,BQ≥OQ﹣OB=3 ﹣3
即OC最小值是3 ﹣3
(3)
【解析】(3)如图③中,作AQ⊥OA,使得AQ= OA,连接OQ,BQ,OB.
∵∠QAO=∠BAC=90°,
∠QAB=∠OAC,
∵ =
=
,
∴△QAB∽OAC,
∴BQ= OC,
当BQ最小时,OC最小,
易知OA=3,AQ=4,OQ=5,BQ≥OQ﹣OB,
∴BQ≥2,
∴BQ的最小值为2,
∴OC的最小值为 ×2=
,
故答案为 .
(1)将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB(如图①),只要证明△APQ是等腰直角三角形即可解决问题;(2)如图②中,连接OA,将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB,连接OB,OQ,在△BOQ中,利用三边关系定理即可解决问题;(3)如图③构造相似三角形即可解决问题.作AQ⊥OA,使得AQ= OA,连接OQ,BQ,OB.由△QAB∽OAC,推出BQ=
OC,当BQ最小时,OC最小;
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【题目】回答下列问题:
(1)如图所示的甲、乙两个平面图形能折什么几何体?
(2)由多个平面围成的几何体叫做多面体.若一个多面体的面数为f,顶点个数为v,棱数为e,分别计算第(1)题中两个多面体的f+v﹣e的值?你发现什么规律?
(3)应用上述规律解决问题:一个多面体的顶点数比面数大8,且有50条棱,求这个几何体的面数.
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【题目】某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况,随机抽取该年级部分男生进行了一次测试(满分15分,成绩均记为整数分),并按测试成绩(单位:分)分成四类:A类(12≤m≤15),B类(9≤m≤11),C类(6≤m≤8),D类(m≤5)绘制出以下两幅不完整的统计图,请根据图中信息解答下列问题:
(1)本次抽取样本容量为 , 扇形统计图中A类所对的圆心角是度;
(2)请补全条形统计图;
(3)若该校九年级男生有600名,请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C类的有多少名?
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【题目】如图,在四边形ABCD中,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,BE=DF,AE=CF.
(1)求证:△AFD≌△CEB;
(2)若∠CBE=∠BAC,四边形ABCD是怎样的四边形?证明你的结论.
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【题目】为了丰富少年儿童的业余生活,某社区要在如图中的AB所在的直线上建一图书室,本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B.已知AB=2.5km,CA=1.5km,DB=1.Okm,试问:图书室E应该建在距点A多少km处,才能使它到两所学校的距离相等?
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【题目】如图,在□ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B、F为圆心,以大于BF的相同长为半径画弧,两弧交于点P;连接AP并延长交BC于点E,连接EF,得四边形ABEF.
求证:四边形ABEF是菱形.
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【题目】如图,已知函数y=-x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,与函数y=x的图象交于点E,点E的横坐标为3.
(1)求点A的坐标;
(2)在x轴上有一点F(a,0),过点F作x轴的垂线,分别交函数y=-x+b和y=x的图象于点C、D,若以点B、O、C、D为顶点的四边形为平行四边形,求a的值.
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