【题目】如图,在平面直角坐标系中,⊙A与x轴相交于C(﹣2,0),D(﹣8,0)两点,与y轴相切于点B(0,4).
(1)求经过B,C,D三点的抛物线的函数表达式;
(2)设抛物线的顶点为E,证明:直线CE与⊙A相切;
(3)在x轴下方的抛物线上,是否存在一点F,使△BDF面积最大,最大值是多少?并求出点F的坐标.
【答案】
(1)
解:设抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c,
把B(0,4),C(﹣2,0),D(﹣8,0)代入得: ,
解得 .
∴经过B,C,D三点的抛物线的函数表达式为:y= x2+ x+4
(2)
解:∵y= x2+ x+4= (x+5)2﹣ ,
∴E(﹣5,﹣ ),
设直线CE的函数解析式为y=mx+n,
直线CE与y轴交于点G,则 ,
解得: ,
∴y= x+ ,
在y= x+ 中,令x=0,y= ,
∴G(0, ),
如图1,连接AB,AC,AG,
则BG=OB﹣OG=4﹣ = ,
CG= = = ,
∴BG=CG,AB=AC,
在△ABG与△ACG中,
,
∴△ABG≌△ACG,
∴∠ACG=∠ABG,
∵⊙A与y轴相切于点B(0,4),
∴∠ABG=90°,
∴∠ACG=∠ABG=90°
∵点C在⊙A上,
∴直线CE与⊙A相切
(3)
解:存在点F,使△BDF面积最大,
如图2连接BD,BF,DF,设F(t, t2+ t+4),
过F作FN∥y轴交BD于点N,
设直线BD的解析式为y=kx+d,则 ,
解得 .
∴直线BD的解析式为y= x+4,
∴点N的坐标为(t, t+4),
∴FN= t+4﹣( t2+ t+4)=﹣ t2﹣2t,
∴S△DBF=S△DNF+S△BNF= ODFN= (﹣ t2﹣2t)=﹣t2﹣8t=﹣(t+4)2+16,
∴当t=﹣4时,S△BDF最大,最大值是16,
当t=﹣4时, t2+ t+4=﹣2,
∴F(﹣4,﹣2).
【解析】(1)把B(0,4),C(﹣2,0),D(﹣8,0)代入二次函数的解析式即可得到结果;(2)由y= x2+ x+4= (x+5)2﹣ ,得到顶点坐标E(﹣5,﹣ ),求得直线CE的函数解析式y= x+ ,在y= x+ 中,令x=0,y= ,得到G(0, ),如图1,连接AB,AC,AG,得BG=OB﹣OG=4﹣ = ,CG= ,得到BG=CG,AB=AC,证得△ABG≌△ACG,得到∠ACG=∠ABG,由于⊙A与y轴相切于点B(0,4),于是得到∠ABG=90°,即可求得结论;(3)如图2,连接BD,BF,DF,设F(t, t2+ t+4),过F作FN∥y轴交BD于点N,求得直线BD的解析式为y= x+4,得到点N的坐标为(t, t+4),于是得到FN= t+4﹣( t2+ t+4)=﹣ t2﹣2t,推出S△DBF=S△DNF+S△BNF= ODFN= (﹣ t2﹣2t)=﹣t2﹣8t=﹣(t+4)2+16,即可得到结论.
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点,需要掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小才能正确解答此题.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+ 与直线AB交于点A(﹣1,0),B(4, ),点D是抛物线A、B两点间部分上的一个动点(不与点A、B重合),直线CD与y轴平行,交直线AB于点C,连接AD,BD.
(1)求抛物线的表达式;
(2)设点D的横坐标为m,△ADB的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求出当S取最大值时的点C的坐标.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知:正方形ABCD,等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处,使三角板绕点D旋转.
(1)当三角板旋转到图1的位置时,猜想CE与AF的数量关系,并加以证明;
(2)在(1)的条件下,若DE:AE:CE=1: :3,求∠AED的度数;
(3)若BC=4,点M是边AB的中点,连结DM,DM与AC交于点O,当三角板的一边DF与边DM重合时(如图2),若OF= ,求CN的长.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某校积极开展“阳光体育”活动,共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目,为了解学生最喜爱哪一种项目,随机抽取了部分学生进行调查,并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出).
(1)求本次被调查的学生人数;
(2)补全条形统计图;
(3)该校共有1200名学生,请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上,∠ACB=∠EDF=90°,∠DEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,EF=9cm.如图(2),△DEF从图(1)的位置出发,以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点B出发,以2cm/s的速度沿BA匀速移动,当△DEF的顶点D移动到AC边上时,△DEF停止移动,点P也随之停止移动,DE与AC相交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s)(0<t<4.5).
解答下列问题:
(1)当t为何值时,点A在线段PQ的垂直平分线上?
(2)连接PE,
设四边形APEC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式,是否存在某一时刻t,使面积y最小?若存在,求出y的最小值;若不存在,说明理由;
(3)是否存在某一时刻t,使P、Q、F三点在同一条直线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形,Rt△ABC的项点均在格点上.A(﹣6,1)B(﹣3,1)C(﹣3,3)
(1)将Rt△ABC沿x轴正方向平移5个单位长度后得到Rt△A1B1C1 . 试在图中画出Rt△A1B1C1 , 并写出C1点的坐标;
(2)将Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2 . 试在图中画出Rt△A2B2C2 .
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