【题目】问题发现:数学兴趣小组在活动时,老师提出了这样一个问题:如图①,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=10,AD是BC边上的中线,求AD的长度.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使DE=AD,则AD=AE
在△ADC和△EDB中
∴△ADC≌△EDB
∴∠DBE=∠DCA,BE=AC
∴BE∥AC
∴∠EBA+∠BAC=180°
∵∠BAC=90°
∴∠EBA=90°
在△EBA和△CAB中
∴△EBA≌△CAB
∴AE=BC
∵BC=10
∴AD=AE=
BC=5
(1)若将上述问题中条件“BC=10”换成“BC=a”,其他条件不变,则可得AD= .
从上得到结论:直角三角形斜边上的中线,等于斜边的一半.
(感悟)解题时,条件中若出现“中点”“中线”等字样,可以考虑延长中线构造全等三角形进而求解.
问题解决:(2)如图②,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,M是AB的中点.若CM=6.5,BC+CD+DA=17,求四边形ABCD的面积.
问题拓展:(3)如图③,在平行四边形ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF、CF,∠DFE与∠AEF的度数满足数量关系:∠DFE=k∠AEF,求k的值.
【答案】(1);(2)30;(3)k=3
【解析】
问题发现(1):证明△ADC≌△EDB(SAS),可得∠DBE=∠DCA,BE=AC,证明△EBA≌△CAB(SAS),可得出AE=BC,则可求出答案;
问题解决:(2)延长CM、DA交于点E.根据AAS可以证明△AME≌△BMC,则ME=MC=6.5,AE=BC;根据BC+CD+DA=17,得DE+DC=17①,根据勾股定理,得DE2+DC2=CE2=169②,联立求得DECD的值,即可求得答案;
问题拓展:(3)连接CF并延长交BA的延长线于G,先证明CF=GF,再由直角三角形斜边上的中线性质可证明EF=CF,得出∠G=∠FEG,再证明AF=AG,得出∠G=∠AFG=∠DFC,即可求出答案.
解:(1)问题发现:
延长AD到E,使DE=AD,则AD=AE,
在△ADC和△EDB中,
,
∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴∠DBE=∠DCA,BE=AC,
∴BE∥AC,
∴∠EBA+∠BAC=180°,
∵∠BAC=90°
∴∠EBA=90°
在△EBA和△CAB中,
,
∴△EBA≌△CAB(SAS)
∴AE=BC,
∵BC=a,
∴AD=AE=
BC=
.
故答案为:.
问题解决:(2)
如图②,延长CM、DA交于点E.
∵AD∥BC,
∴∠MAE=∠B,∠E=∠BCM.
又AM=BM,
∴△AME≌△BMC(AAS).
∴ME=MC=6.5,AE=BC.
又BC+CD+DA=17,∠D=90°,
∴DE+DC=17①,DE2+DC2=CE2=169②.
∴DECD= [(DE+DC)2﹣DE2﹣DC2]=60.
∴四边形ABCD的面积为S=DECD=30.
问题拓展:(3)
连接CF并延长交BA的延长线于G,如图③所示:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD
∵F是AD的中点,
∴CF=GF,
∵CE⊥AB,
∴∠CEG=90°,
∴EF=CG=CF=GF,
∴∠G=∠FEG,
∵AD∥BC,CF=GF,
∴AG=AB,
∴AF=AG,
∴∠G=∠AFG=∠DFC,
∵∠CFE=∠G+∠AEF,
∴∠DFE=∠CFE+∠DFC=3∠AEF,
∵∠DFE=k∠AEF,
∴k=3.
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【题目】如图,点从原点出发沿数轴向左运动,同时点
也从原点出发沿数轴向右运动,
秒后,两点相距
个单位长度,已知点
的速度是点
的速度的
倍(速度单位:单位长度/秒).
(1)求出点、点
运动的速度,并在数轴上标出
,
两点从原点出发运动
秒时的位置.
(2)若,
两点从(1)中的位置开始,仍以原来的速度同时沿数轴向左运动,几秒时,原点恰好处在点
、点
的正中间?
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【题目】定义符号min{a,b,c}表示a、b、c三个数中的最小值,如min{1,﹣2,3}=﹣2,min{0,5,5}=0.
(1)根据题意填空:min= ;
(2)试求函数y=min{2,x+1,﹣3x+11}的解析式;
(3)关于x的方程﹣x+m=min{2,x+1,﹣3x+11}有解,试求常数m的取值范围.
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【题目】已知某品牌的饮料有大瓶装与小瓶装之分.某超市花了3800元购进一批该品牌的饮料共1000瓶,其中大瓶和小瓶饮料的进价及售价如下表所示:
大瓶 | 小瓶 | |
进价(元/瓶) | 5 | 2 |
售价(元/瓶) | 7 | 3 |
(1)该超市购进大瓶和小瓶饮料各多少瓶?
(2)在大瓶饮料售出200瓶,小瓶饮料售出100瓶后,商家决定将剩下的小瓶饮料的售价降低0.5元销售,并把其中一定数量的小瓶饮料作为赠品,在顾客一次性购买大瓶饮料时,每满2瓶就送1瓶小瓶饮料,送完即止.超市要使这批饮料售完后获得的利润不低于1250元,那么小瓶饮料作为赠品最多只能送出多少瓶?
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【题目】如果∠α和∠β互补,且∠α>∠β,则下列表示∠β的余角的式子中:①90°﹣∠β;②∠α﹣90°③(∠α+∠β);④
(∠α﹣∠β).正确的有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】如图所示,动点A,B同时从原点O出发,运动的速度都是每秒1个单位,动点A沿x轴正方向运动,动点B沿y轴正方向运动,以OA,OB为邻边建立正方形OACB,抛物线y=﹣x2+bx+c经过B,C两点,假设A,B两点运动的时间为t秒:根据
(1)直接写出直线OC的解析式;
(2)当t=3秒时,求此时抛物线的解析式;此时抛物线上是否存在一点D,使得S△BCD=6?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;
(3)在(2)的条件下,有一条平行于y轴的动直线l,交抛物线于点E,交直线OC于点F,若以O、B、E、F四个点构成的四边形是平行四边形,求点F的坐标;
(4)在动点A、B运动的过程中,若正方形OACB内部有一个点P,且满足OP= ,CP=2,∠OPA=135°,直接写出此时AP的长度.
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【题目】如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分,BN
AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,AC=16.
(1)求证:BN=DN;
(2)求MN的长.
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【题目】为鼓励居民节约用电,我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价,即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费,第一档为用电量在180千瓦时(含180千瓦时)以内的部分,执行基本价格;第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时(含450千瓦时)的部分,实行提高电价;第三档为用电量超出450千瓦时的部分,执行市场调节价格. 我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时,电费为213元,3月份用电240千瓦时,电费为150元.已知我市的一位居民今年4、5月份的家庭用电量分别为160和 410千瓦时,请你依据该同学家的缴费情况,计算这位居民4、5月份的电费分别为多少元?
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