Question

【题目】对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若m＝a2+b2（a、b为正整数），记A（m）＝ab．例如：29＝22+52，29就是一个“平方和数”，则A（29）＝2×5＝10．

（1）判断25是否是“平方和数”，若是，请计算A（25）的值；若不是，请说明理由；

（2）若k是一个“平方和数”，且A（k）＝，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）25是“平方和数”，A(25)=12；（2）k的值为10或20或34或52或74

【解析】

（1）把25写成两个正整数的平方和，再根据A（m）＝ab求出A（25）便可；

（2）设k＝a2+b2，则A（k）＝ab，根据（k）＝，得a、b的方程，求得a与b的关系式，进而由a、b、k满足的条件求得k的值便可．

（1）25是“平方和数”

∵25＝32+42

∴A(25)＝3×4＝12

故答案为：25是“平方和数”，A(25)=12

（2）设k＝a2+b2，则A(k)＝ab

∵A(k)＝

∴ab＝

∴2ab＝a2+b2﹣4

∴a2﹣2ab+b2＝4

∴(a﹣b)2＝4

∴a﹣b＝±2，即a＝b+2或b＝a+2，

∵a、b为正整数，k为两位数，

∴当a＝1，b＝3或a＝3，b＝1时，k＝10；

当a＝2，b＝4或a＝4，b＝2时，k＝20；

当a＝3，b＝5或a＝5，b＝3时，k＝34；

当a＝4，b＝6或a＝6，b＝4时，k＝52；

当a＝5，b＝7或a＝7，b＝5时，k＝74；

综上，k的值为：10或20或34或52或74．

故答案为：k的值为10或20或34或52或74