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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD是边长为5的菱形,顶点ACD均在坐标轴上,sinB=

1)求过ACD三点的抛物线的解析式;

2)记直线AB的解析式为y1=mx+n,(1)中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c,求当y1>y2时,自变量x的取值范围;

3)设直线AB与(1)中抛物线的另一个交点为EP点为抛物线上AE两点之间的一个动点,且直线PEx轴于点F,问:当P点在何处时,PAE的面积最大?并求出面积的最大值.

【答案】1y=x2+x+4;(2x-2x5;(3)当P()时,PAE的面积最大,最大面积为

【解析】

1)由菱形ABCD的边长和一角的正弦值,可求出OCODOA的长,进而确定ACD三点坐标,通过待定系数法可求出抛物线的解析式.
2)首先由AB的坐标确定直线AB的解析式,然后求出直线AB与抛物线解析式的两个交点,然后通过观察图象找出直线y1在抛物线y2图象下方的部分.
3)该题的关键点是确定点P的位置,△APE的面积最大,那么SAPE=AE×hh的值最大,即点P离直线AE的距离最远,那么点P为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点.

解:(1四边形ABCD是边长为5的菱形,∴AB=AD=CD=BC=5sinB=sinD=

Rt△OCD中,OC=CDsinD=4OD=3OA=ADOD=2,即:

A(﹣20)、B(﹣54)、C04)、D30);

设抛物线的解析式为:y=ax+2)(x3),得:(﹣3a=4a=

抛物线:y=x2+x+4

2)由A(﹣20)、B(﹣54)得直线ABy1=x

由(1)得:y2=x2+x+4,则:

,解得:

由图可知:当y1>y2时,x&l;-2x>5

3∵SAPE=AEhP到直线AB的距离最远时,SABE最大;

若设直线L∥AB,则直线L与抛物线有且只有一个交点时,该交点即为点P

设直线Ly=x+b,当直线L与抛物线有且只有一个交点时,

x+b=x2+x+4,且△=0;求得:b=,即直线Ly=x+

可得点P).由(2)得:E5,﹣),则直线PEy=x+9

PEx轴的交点F的坐标为(0),AF=OA+OF=

∴△PAE的最大值:SPAE=SPAF+SAEF=××+=

综上所述,当P)时,△PAE的面积最大,最大面积为

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【题目】对任意一个两位数m,如果m等于两个正整数的平方和,那么称这个两位数m为“平方和数”,若ma2+b2ab为正整数),记Am)=ab.例如:2922+5229就是一个“平方和数”,则A29)=2×510

1)判断25是否是“平方和数”,若是,请计算A25)的值;若不是,请说明理由;

2)若k是一个“平方和数”,且Ak)=,求k的值.

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【题目】为了解疫情对精神负荷造成的影响,某机构分别在一线城市和三线城市的志愿者中随机选取了50人参加LES测试,根据志愿者的答题情况计算出LES得分,并对得分进行整理,描述和分析,部分信息如下:

一、三线城市志愿者得分统计表

城市

中位数

平均数

一线城市

a

17.6

三线城市

14

17.2

注:一线城市在14x20中的得分是:15151617171717181820

根据以上信息,解答下列问题:

1)表中a的值为    

2)得分越低反映个体承受的精神压力越小,排名越靠前,在这次调查中,一线城市的志愿者甲和三线城市的志愿者乙的得分均为15分,请判断甲、乙在各自城市选取的志愿者中得分排名谁更靠前,并说明理由;

3)如果得分超过平均数就需要进行心理干预,请估计一线城市全部2000名志愿者中有多少人需要进行心理干预?

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【题目】“校同安全”受到全社会的广泛关注,我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度,采用随机抽样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了如图两幅尚不完整的统计图,请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:

1)接受问卷调查的学生共有    人,扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为    度;并补全条形统计图.

2)若该中学共有学生人,请根据上述调查结果,估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为    人;

3)若从对校园安全知识达到“了解”程度的个女生个男生中分别随机抽取人参加校园安全知识竞赛,请用树状图或列表法求出恰好抽到女生的概率.

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1)参与此次问卷调查学生共多少人?

2)请根据所给的扇形图和条形图,填写出扇形图中缺失的数据,并把条形图补充完整;

3)在问卷调查中,小张和小王分别选择了音乐类和美术类,老师要从选择音乐类和美术类的学生中分别抽取一名学生参加活动,设选择音乐类的四个学生为张、A1A2A3选择美术类3个学生为王、B1B2用列表或画树状图的方法求小张和小王恰好都被选中的概率;

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【题目】如图,四边形ABCD中,∠BAC=BDC

1)求证:△ADE∽△CEB

2)已知△ABC是等边三角形,求证:

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(1)AM时,求x的值;

(2)如图2,连接BM、过B点作BH⊥MN,垂足为H,求证:BM∠ABH的角平分线;

(3)随着点M在边AD上位置的变化,△PDM的周长是否发生变化?如变化,请说明理由;如不变,请求出该定值;

(4)设四边形BEFC的面积为S,求Sx之间的函数表达式,并求出S的最小值.

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