【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD是边长为5的菱形,顶点A.C.D均在坐标轴上,sinB=.
(1)求过A,C,D三点的抛物线的解析式;
(2)记直线AB的解析式为y1=mx+n,(1)中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c,求当y1>y2时,自变量x的取值范围;
(3)设直线AB与(1)中抛物线的另一个交点为E,P点为抛物线上A,E两点之间的一个动点,且直线PE交x轴于点F,问:当P点在何处时,△PAE的面积最大?并求出面积的最大值.
【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2)x<-2或x>5;(3)当P(,)时,△PAE的面积最大,最大面积为
【解析】
(1)由菱形ABCD的边长和一角的正弦值,可求出OC、OD、OA的长,进而确定A、C、D三点坐标,通过待定系数法可求出抛物线的解析式.
(2)首先由A、B的坐标确定直线AB的解析式,然后求出直线AB与抛物线解析式的两个交点,然后通过观察图象找出直线y1在抛物线y2图象下方的部分.
(3)该题的关键点是确定点P的位置,△APE的面积最大,那么S△APE=AE×h中h的值最大,即点P离直线AE的距离最远,那么点P为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点.
解:(1)∵四边形ABCD是边长为5的菱形,∴AB=AD=CD=BC=5,sinB=sinD=;
Rt△OCD中,OC=CDsinD=4,OD=3;OA=AD﹣OD=2,即:
A(﹣2,0)、B(﹣5,4)、C(0,4)、D(3,0);
设抛物线的解析式为:y=a(x+2)(x﹣3),得:2×(﹣3)a=4,a=;
∴抛物线:y=﹣x2+x+4.
(2)由A(﹣2,0)、B(﹣5,4)得直线AB:y1=﹣x﹣;
由(1)得:y2=﹣x2+x+4,则:
,解得:,;
由图可知:当y1>y2时,x&l;-2或x>5.
(3)∵S△APE=AEh,∴当P到直线AB的距离最远时,S△ABE最大;
若设直线L∥AB,则直线L与抛物线有且只有一个交点时,该交点即为点P;
设直线L:y=﹣x+b,当直线L与抛物线有且只有一个交点时,
﹣x+b=﹣x2+x+4,且△=0;求得:b=,即直线L:y=﹣x+;
可得点P(,).由(2)得:E(5,﹣),则直线PE:y=﹣x+9;
PE与x轴的交点F的坐标为(,0),AF=OA+OF=;
∴△PAE的最大值:S△PAE=S△PAF+S△AEF=××(+)=.
综上所述,当P(,)时,△PAE的面积最大,最大面积为.
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【题目】对任意一个两位数m,如果m等于两个正整数的平方和,那么称这个两位数m为“平方和数”,若m=a2+b2(a、b为正整数),记A(m)=ab.例如:29=22+52,29就是一个“平方和数”,则A(29)=2×5=10.
(1)判断25是否是“平方和数”,若是,请计算A(25)的值;若不是,请说明理由;
(2)若k是一个“平方和数”,且A(k)=,求k的值.
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【题目】为了解疫情对精神负荷造成的影响,某机构分别在一线城市和三线城市的志愿者中随机选取了50人参加LES测试,根据志愿者的答题情况计算出LES得分,并对得分进行整理,描述和分析,部分信息如下:
一、三线城市志愿者得分统计表
城市 | 中位数 | 平均数 |
一线城市 | a | 17.6 |
三线城市 | 14 | 17.2 |
注:一线城市在14<x≤20中的得分是:15,15,16,17,17,17,17,18,18,20.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)表中a的值为 ;
(2)得分越低反映个体承受的精神压力越小,排名越靠前,在这次调查中,一线城市的志愿者甲和三线城市的志愿者乙的得分均为15分,请判断甲、乙在各自城市选取的志愿者中得分排名谁更靠前,并说明理由;
(3)如果得分超过平均数就需要进行心理干预,请估计一线城市全部2000名志愿者中有多少人需要进行心理干预?
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【题目】“校同安全”受到全社会的广泛关注,我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度,采用随机抽样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了如图两幅尚不完整的统计图,请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:
(1)接受问卷调查的学生共有 人,扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为 度;并补全条形统计图.
(2)若该中学共有学生人,请根据上述调查结果,估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为 人;
(3)若从对校园安全知识达到“了解”程度的个女生和个男生中分别随机抽取人参加校园安全知识竞赛,请用树状图或列表法求出恰好抽到女生的概率.
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【题目】如图,为了解学生的课余生活情况,某中学在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查. 问卷中请学生选择最喜欢的课余生活种类(每人只选一类),选项有音乐类、美术类、体育类及其他共四类,调查后将数据绘制成扇形统计图和条形统计图(如图所示).
(1)参与此次问卷调查学生共多少人?
(2)请根据所给的扇形图和条形图,填写出扇形图中缺失的数据,并把条形图补充完整;
(3)在问卷调查中,小张和小王分别选择了音乐类和美术类,老师要从选择音乐类和美术类的学生中分别抽取一名学生参加活动,设选择音乐类的四个学生为张、A1、A2、A3,选择美术类3个学生为王、B1、B2,用列表或画树状图的方法求小张和小王恰好都被选中的概率;
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【题目】如图1,在边长为1的正方形ABCD中,动点E,F分别在边AB,CD上,将正方形ABCD沿直线EF折叠,使点B的对应点M始终落在边AD上(点M不与点A,D重合),点C落在点N处,MN与CD交于点P,设BE=x.
(1)当AM=时,求x的值;
(2)如图2,连接BM、过B点作BH⊥MN,垂足为H,求证:BM是∠ABH的角平分线;
(3)随着点M在边AD上位置的变化,△PDM的周长是否发生变化?如变化,请说明理由;如不变,请求出该定值;
(4)设四边形BEFC的面积为S,求S与x之间的函数表达式,并求出S的最小值.
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【题目】某游乐场部分平面图如图所示,C,E,A在同一直线上,D,E,B在同一直线上,测得A处与E处的距离为80 m,C处与D处的距离为34 m,∠C=90°,∠ABE=90°,∠BAE=30°.( ≈1.4, ≈1.7)
(1)求旋转木马E处到出口B处的距离;
(2)求海洋球D处到出口B处的距离(结果保留整数).
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点(与点A,B不重合),过点C作直线PQ,使得∠ACQ=∠ABC.
(1)求证:直线PQ是⊙O的切线.
(2)过点A作AD⊥PQ于点D,交⊙O于点E,若⊙O的半径为2,sin∠DAC=,求图中阴影部分的面积.
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