Question

【题目】如图，四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC，

（1）求证：△ADE∽△CEB；

（2）已知△ABC是等边三角形，求证：

① ；

② ．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析

【解析】

（1）证明△BEA∽△DEC，从而得到，再结合∠AED=∠BEC即可证明△ADE∽△BCE；

（2）①利用等边三角形的性质得到∠ACB=∠BDC，结合∠DBC=∠DBC得到△BEC∽△BCD，根据相似的性质即可得到结果；

②在DB上取点F，使DF=DC，证明△CDF是等边三角形，再证明△DCA≌△FCB，则有AD=BF，继而得到结论.

解：（1）证明：∵∠BAC=∠BDC，∠BEA =∠DEC

∴△BEA∽△DEC

∴ ，

即

又∵∠AED=∠BEC

∴△ADE∽△BCE；

（2）证明：①∵△ABC是等边三角形

∴∠ACB=∠BAC=

∵∠BAC=∠BDC

∴∠ACB=∠BDC=

又∵∠DBC=∠DBC

∴△BEC∽△BCD

∴

∴

②在DB上取点F，使DF=DC

∵∠BDC=∠ACB=

∴△CDF是等边三角形

∴CD=CF，∠DCF=

∴∠DCF-∠ACF=∠ACB-∠ACF

∴∠DCA=∠FCB

由△ABC是等边三角形得：AC=BC

∴△DCA≌△FCB

∴AD=BF

∴BD=DF+BF=CD+AD.