【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,点E在BC边上,且CA=CE,过A,C,E三点的⊙O交AB于另一点F,作直径AD,连结DE并延长交AB于点G,连结CD,CF.
(1)求证:四边形DCFG是平行四边形;(2)当BE=4,CD=AB时,求⊙O的直径长.
【答案】(1)见解析;(2)的直径长为.
【解析】
(1)连接AE,由∠BAC=90°,得到CF是⊙O的直径,根据圆周角定理得到∠AED=90°,即GD⊥AE,推出CF∥DG,推出AB∥CD,于是得到结论;
(2)设CD=3x,AB=8x,得到CD=FG=3x,于是得到AF=CD=3x,求得BG=8x3x3x=2x,求得BC=6+4=10,根据勾股定理得到AB=8=8x,求得x=1,在Rt△ACF中,根据勾股定理即可得到结论.
解:(1)连结,
∵,∴为的直径.
∵,∴.
∵为的直径,∴,
即GD⊥AE,
∴CF∥DG,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°,
∴,
∴,
∴四边形为平行四边形.
(2)由,可设,
∴.
∵,
∴,
∴.
∵,
∴.
又∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
在中,,
∴,即的直径长为.
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【题目】如图①,在菱形中,,边上一动点从点出发向点匀速运动,速度为,过点作,垂足为,以为边长作等边,点,在直线的异侧,连接.点的运动时间为.
(1)当时,_______;(直接写出答案)
(2)连接,若为等腰三角形,求的值;
(3)如图②,经过点、、作,连接,当与相切时,则的值等于_______(直接写出答案)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,菱形在第一象限内,边与轴平行,,两点的纵坐标分别为,,反比例函数的图象经过,两点,菱形的面积为,则的值为________.
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【题目】为报答当年5.12汶川地震各地的驰援深情,四川某农产品公司决定将本公司农业基地生产的蔬菜水果全部运到湖北武汉,支援武汉人民抗击新冠疫情.为了运输的方便,将蔬菜和水果分别打包成件,蔬菜和水果共260件,蔬菜比水果多40件.
(1)求打包成件的蔬菜和水果各多少件?
(2)现计划租用甲、乙两种货车共8辆,一次性将这批物资全部运往武汉.已知甲种货车最多可装蔬菜30件和水果13件,乙种货车最多可装蔬菜和水果各15件.如果甲种货车每辆需付运输费3000元,乙种货车每辆需付运输费2400元.则公司安排甲、乙两种货车时有几种方案?并说明公司选择哪种方案可使运输费最少?
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【题目】在扇形中,,半径,点P为上任一点(不与A、O重合).
(1)如图①,Q是上一点,若,求证:.
(2)如图②,将扇形沿折叠,得到O的对称点.
①若点落在上,求的长;
②当与扇形所在的圆相切时,求折痕的长.(注:本题结果不取近似值)
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【题目】王芳同学到文具店购买中性笔和笔记本,中性笔每支1元,笔记本每本3元,王芳同学现有10元钱,则可供她选择的购买方案的个数为(两样都买,余下的钱少于1元)( )
A.2B.3C.4D.5
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