Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．

（1）求证：四边形DCFG是平行四边形；（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）的直径长为.

【解析】

（1）连接AE，由∠BAC＝90°，得到CF是⊙O的直径，根据圆周角定理得到∠AED＝90°，即GD⊥AE，推出CF∥DG，推出AB∥CD，于是得到结论；

（2）设CD＝3x，AB＝8x，得到CD＝FG＝3x，于是得到AF＝CD＝3x，求得BG＝8x3x3x＝2x，求得BC＝6＋4＝10，根据勾股定理得到AB＝8＝8x，求得x＝1，在Rt△ACF中，根据勾股定理即可得到结论．

解：（1）连结，

∵，∴为的直径.

∵，∴.

∵为的直径，∴，

即GD⊥AE，

∴CF∥DG，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD＝90°，

∴，

∴，

∴四边形为平行四边形.

（2）由，可设，

∴.

∵，

∴，

∴.

∵，

∴.

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴.

在中，，

∴，即的直径长为.