Question

【题目】已知：菱形ABCD，AB=4m，∠B=60°，点P、Q分别从点B、C同时出发，沿线段BC、CD以1m/s的速度向终点C、D运动，运动时间为t秒．

（1）如图1，连接AP、AQ、PQ，试判断△APQ的形状，并说明理由

（2）如图2，当t=1.5秒时，连接AC，与PQ相交于点K．求AK的长．

（3）如图3，连接AC交BD于点O，当P、Q分别运动到点C、D时，将∠APQ沿射线CA方向平移，使点P与点O重合，然后以点O为旋转中心将∠APQ旋转一定的角度，使角的两边分别于CD、AD交于S、K点，再以OS为一边在∠SOC内作∠SOT，使∠SOT=∠BDC，OT边交BC的延长线于点T，若BT=4.8，求AK的长.

Answer 1

【答案】（1）等边三角形，见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）如图1，连接AC，根据菱形的性质证明△ABC和△ACD是等边三角形，得∠B=∠ACQ，AB=AC，由BP=CQ，证明△ABP≌△ACQ，得AP=AQ及∠PAQ=60°，所以△APQ为等边三角形；

（2）由（1）△APQ是等边三角形，由∠4=∠ 6，∠B=∠ACB，得△ABP∽△ PCK，则，代入数值进行计算，即可得到答案；

（3）由题意先证明△DOS∽△BTO，利用相似三角形的性质，求出DS的长度，然后△AOK∽△ CSO，即可求出AK的长度．

解：（1）△APQ是等边三角形

证明：连接AC

∵菱形ABCD

∴AB=BC

∵∠B=60°

∴△ABC是等边三角形

∴AB=AC，①

∵P、Q分别从点B、C同时出发，且速度相同

∴BP=CQ，②

∵菱形ABCD

∴120°=60°

∴∠ACQ=∠B③

由①②③得△ABP≌△ACQ

∴AP=AQ ，∠1=∠3，

∵∠1+∠2=∠BAC=120°=60°

∴∠1+∠3=60°=∠PAQ

∴△APQ是等边三角形

（2）由（1）得△APQ是等边三角形

∴∠APQ=60°

∴∠4+∠5=120°

∵∠ACB=60°

∴∠5+∠6=120°

∴∠4=∠ 6，

∵∠B=∠ACB=60°，

∴△ABP∽△ PCK，

∴，

∵当t=1.5秒时，BP=1.5，

∴CP=41.5=2.5，

∴

∴，

∴；

(3) ∵菱形ABCD

∴∠BDC=∠DBC=

∵∠SOT=∠BDC

可证△DOS∽△BTO

∴

∵BC=4 ，∠BDC=∠DBC=30°

∴CO=AO=2 ，BO=DO=

∴

∴DS=2.5

∴CS=42.5=1.5

∵∠DAC=∠KOS=∠ACD

可证∴△AOK∽△ CSO

∴

∴

∴．