【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,D,F是AB边上的两点,以DF为直径的⊙O与BC相交于点E,连接EF,∠OFE=∠A.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若sinB=,求∠FEC。
【答案】(1)证明见解析;(2)60°
【解析】试题分析:(1)首先连接OE,由在△ABC中,∠C=90°,FG⊥BC,可得FG∥AC,又由∠OFE=∠A,易得EF平分∠BFG,继而证得OE∥FG,证得OE⊥BC,则可得BC是⊙O的切线;
(2)由sinB=得,∠B=30°,从而∠A=60°,由∠OFE=∠A得∠OFE=30°
故得∠FEC=60°
试题解析:(1)连接OE,
∵在△ABC中,∠C=90°,FG⊥BC,
∴∠BGF=∠C=90°,
∴FG∥AC,
∴∠OFG=∠A,
∴∠OFE=∠OFG,
∴∠OFE=∠EFG,
∵OE=OF,
∴∠OFE=∠OEF,
∴∠OEF=∠EFG,
∴OE∥FG,
∴OE⊥BC,
∴BC是⊙O的切线;
(2)在RtΔABC中,sinB=
∴∠B=30°
∴∠A=60°
∵∠OFE=∠A,
∴∠OFE=30°
∴∠FEC=30°+30°=60°
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【题目】如图,(n+1)个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,设△B2D1C1的面积为S1,△B3D2C2的面积为S2,…,△B(n+1)DnCn的面积为Sn,则Sn=____(用含n的式子表示).
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【题目】已知二次函数y=-x2+ax+b的图象与y轴交于点A(0,-2),与x轴交于点B(1,0)和点C,D(m,0)(m>2)是x轴上一点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点E是第四象限内的一点,若以点D为直角顶点的Rt△CDE与以A,O,B为顶点的三角形相似,求点E坐标(用含m的代数式表示);
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得四边形BCEF为平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】下列说法中错误的有( )
①垂直平分弦的直线经过圆心;②平分弦的直径一定垂直于弦;
③相等的圆周角所对的弧相等;④等弧所对的弦相等;
⑤等弦所对的弧相等.
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2+4x+m-1=0。
(1)当m何值时,方程有两个相等的实数根;
(2)当m=2时,设α、β是方程的两个实数根,求α2+β2+αβ的值。
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【题目】已知,△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示,A点坐标为(﹣4,0),B点坐标为(6,0),点D为BC的中点,点E为线段AB上一动点,连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①,将△ADE以DE为轴翻折,点A的对称点为点G,当点G恰好落在抛物线的对称轴上时,求G点的坐标;
(3)如图②,当点E在线段AB上运动时,抛物线的对称轴上是否存在点F,使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E、F的坐标;若不存在,请说明理由.
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