【题目】已知,△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示,A点坐标为(﹣4,0),B点坐标为(6,0),点D为BC的中点,点E为线段AB上一动点,连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①,将△ADE以DE为轴翻折,点A的对称点为点G,当点G恰好落在抛物线的对称轴上时,求G点的坐标;
(3)如图②,当点E在线段AB上运动时,抛物线的对称轴上是否存在点F,使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E、F的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)(﹣1, )或(﹣1, );(3)F(﹣1,4)或(﹣1,﹣4)或(﹣1,12).
【解析】试题分析:(1)把点A,B的坐标代入抛物线解析式,解方程组即可.
(2)作DM⊥抛物线的对称轴于点M,设G点的坐标为(﹣1,n),由翻折的性质,得到BD=DG;然后求出点D、点M的坐标,以及BC、BD的值;在Rt△GDM中,由勾股定理,求出n的值,即可求出G点的坐标.
(3)分三种情况讨论:①当CD∥EF,且点E在x轴的正半轴时;②当CD∥EF,且点E在x轴的负半轴时;③当CE∥DF时;然后根据平行四边形的性质,求出点F的坐标各是多少即可.
试题解析:(1)∵抛物线经过点A(﹣6,0),B(4,0),∴,解得,∴抛物线的解析式是: ;
(2)如图①,作DM⊥抛物线的对称轴于点M,
,
设G点的坐标为(﹣1,n),由翻折的性质,可得BD=DG,∵B(4,0),C(0,8),点D为BC的中点,∴点D的坐标是(2,4),∴点M的坐标是(﹣1,4),DM=2﹣(﹣1)=3,∵B(4,0),C(0,8),∴BC==,∴BD=,在Rt△GDM中,32+(4﹣n)2=20,解得n=,∴G点的坐标为(﹣1, )或(﹣1, );
(3)抛物线的对称轴上存在点F,使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形.
①当CD∥EF,且点E在x轴的正半轴时,如图②,
,
由(2),可得点D的坐标是(2,4),设点E的坐标是(c,0),点F的坐标是(﹣1,d),则,解得,∴点F的坐标是(﹣1,4),点C的坐标是(1,0);
②当CD∥EF,且点E在x轴的负半轴时,如图③,
,
由(2),可得点D的坐标是(2,4),设点E的坐标是(c,0),点F的坐标是(﹣1,d),则,解得,∴点F的坐标是(﹣1,﹣4),点C的坐标是(﹣3,0);
③当CE∥DF时,如图④,
,
由(2),可得点D的坐标是(2,4),设点E的坐标是(c,0),点F的坐标是(﹣1,d),
则,解得: ,∴点F的坐标是(﹣1,12),点C的坐标是(3,0);
综上,可得抛物线的对称轴上存在点F,使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形,点F的坐标是(﹣1,4)、(﹣1,﹣4)或(﹣1,12).
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,D,F是AB边上的两点,以DF为直径的⊙O与BC相交于点E,连接EF,∠OFE=∠A.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若sinB=,求∠FEC。
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【题目】陈老师给42名学生每人买了一件纪念品,其中有:每支12元的钢笔,每把4元的圆规,每册16元的词典,共用了216元,则陈老师买了钢笔支,词典册;
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【题目】
(1)计算:3×(﹣2)2﹣|﹣4|﹣6×
(2)先化简,再求值: x﹣2( x2﹣y2)﹣[2y﹣(x2﹣2y2)],其中x=2,y=﹣4.
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