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【题目】已知,△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示,A点坐标为(﹣4,0),B点坐标为(6,0),点D为BC的中点,点E为线段AB上一动点,连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图①,将△ADE以DE为轴翻折,点A的对称点为点G,当点G恰好落在抛物线的对称轴上时,求G点的坐标;

(3)如图②,当点E在线段AB上运动时,抛物线的对称轴上是否存在点F,使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E、F的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1;(2)(﹣1)或(﹣1);(3F﹣14)或(﹣1﹣4)或(﹣112).

【解析】试题分析:(1)把点AB的坐标代入抛物线解析式,解方程组即可.

2)作DM⊥抛物线的对称轴于点M,设G点的坐标为(﹣1n),由翻折的性质,得到BD=DG;然后求出点D、点M的坐标,以及BCBD的值;在Rt△GDM中,由勾股定理,求出n的值,即可求出G点的坐标.

3)分三种情况讨论:CD∥EF,且点Ex轴的正半轴时;CD∥EF,且点Ex轴的负半轴时;CE∥DF时;然后根据平行四边形的性质,求出点F的坐标各是多少即可.

试题解析:(1抛物线经过点A﹣60),B40),,解得抛物线的解析式是:

2)如图,作DM⊥抛物线的对称轴于点M

G点的坐标为(﹣1n),由翻折的性质,可得BD=DGB40),C08),点DBC的中点,D的坐标是(24),M的坐标是(﹣14),DM=2﹣﹣1=3B40),C08),BC==BD=,在RtGDM中,32+4﹣n2=20,解得n=G点的坐标为(﹣1)或(﹣1);

3)抛物线的对称轴上存在点F,使得以CDEF为顶点的四边形为平行四边形.

CD∥EF,且点Ex轴的正半轴时,如图

由(2),可得点D的坐标是(24),设点E的坐标是(c0),点F的坐标是(﹣1d),则,解得F的坐标是(﹣14),点C的坐标是(10);

CD∥EF,且点Ex轴的负半轴时,如图

由(2),可得点D的坐标是(24),设点E的坐标是(c0),点F的坐标是(﹣1d),则,解得F的坐标是(﹣1﹣4),点C的坐标是(﹣30);

CE∥DF时,如图

由(2),可得点D的坐标是(24),设点E的坐标是(c0),点F的坐标是(﹣1d),

,解得: F的坐标是(﹣112),点C的坐标是(30);

综上,可得抛物线的对称轴上存在点F,使得以CDEF为顶点的四边形为平行四边形,点F的坐标是(﹣14)、(﹣1﹣4)或(﹣112).

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