【题目】如图,AD是⊙O的直径,AB为⊙O 的弦,OP⊥AD,OP与AB的延长线交于点P.点C在OP上,且BC=PC.
(1)求证:直线BC是⊙O的切线;
(2)若OA=3,AB=2,求BP的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)7.
【解析】分析:(1)连结OB.由等腰三角形的性质得到∠A=∠OBA,∠P=∠CBP,由于OP⊥AD,得到∠A+∠P=90°,于是得到∠OBA+∠CBP=90°,求得∠OBC=90°结论可得;
(2)连结DB.由AD是⊙O的直径,得到∠ABD=90°,推出Rt△ABD∽Rt△AOP,得到比例式,即可得到结果.
详解:(1)证明:连结OB.
∵OA=OB,∴∠A=∠OBA.
又∵BC=PC,∴∠P=∠CBP.
∵OP⊥AD,∴∠A+∠P=90°,
∴∠OBA+∠CBP=90°,
∴∠OBC=180°-(∠OBA+∠CBP)=90°.
∵点B在⊙O上,
∴直线BC是⊙O的切线.
(2)连结DB.
∵AD是⊙O的直径,∴∠ABD=90°,
∴Rt△ABD∽Rt△AOP.
∴=
,即
=
,AP=9,
∴BP =AP—BA=9—2=7.
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【题目】已知,是
的直径,
是
上一点,
和过点
的切线互相垂直,垂足为点
.
如图
,求证:
平分
;
如图
,直线
与
的延长线交于点
,
的平分线交
于点
,
交
于点
,求证:
;
在
的条件下,如图
,若
,
,求
的长.
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【题目】如图所示,在中,
是
的平分线,
是
上一点,且
,连接
并延长
交
于
,又过
作
的垂线交
于
,交
为
,则下列说法:①
是
的中点;②
;③
;④
为等腰三角形;⑤连接
,若
,
,则四边形
的面积为24;其中正确的是______(填序号).
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【题目】某中学有库存1800套旧桌凳,修理后捐助贫困山区学校.现有甲,乙两个木工组都想承揽这项业务.经协商后得知:甲木工组每天修理的桌凳套数是乙木工组每天修理桌凳套数的,甲木工组单独修理这批桌凳的天数比乙木工组单独修理这批桌凳的天数多10天,甲木工组每天的修理费用是600元,乙木工组每天的修理费用是800元.
(1)求甲,乙两木工组单独修理这批桌凳的天数;
(2)现有三种修理方案供选择:方案一,由甲木工组单独修理这批桌凳;方案二,由乙木工组单独修理这批桌凳;方案三,由甲,乙两个木工组共同合作修理这批桌凳.请计算说明哪种方案学校付的修理费最少.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象如图所示,对称轴是x=-1.下列结论:①ab>0;②b2>4ac;③a-b+2c<0;④8a+c<0.其中正确的是( )
A. ③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
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【题目】工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)
(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12dm2时,裁掉的正方形边长多大?
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为0.5元,底面每平方分米的费用为2元,裁掉的正方形边长多大时,总费用最低,最低为多少?
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【题目】如图,等腰Rt△ABD中,AB=AD,点M 为边AD上一动点,点E在DA的延长线上,且AM=AE,以BE为直角边,向外作等腰Rt△BEG,MG交AB于N,连NE、DN.
(1)求证:∠BEN=∠BGN.
(2)求的值.
(3)当M在AD上运动时,探究四边形BDNG的形状,并证明之.
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