【题目】已知:在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上,且∠ACB=90°,AC=BC.
(1)如图1,当A(0,-2),C(1,0),点B在第四象限时,求点B的坐标;
(2)如图2,当点C在x轴正半轴上运动,点A在y轴正半轴上运动,点B在第四象限时,作BD⊥y轴于点D,试判断是一个定值,并说明定值是多少?请证明你的结论.
【答案】(1)(3,-1);(2)
【解析】
(1)过B作BE⊥x轴于E,推出∠2=∠OAC,∠AOC=∠BEC,根据AAS证△AOC≌△CEB,推出OA=CE,OC=BE,根据A、C的坐标即可求出答案;
(2)作BE⊥x轴于E,得出矩形OEBD,推出BD=OE,证△CEB≌△AOC,推出AO=CE,求出OC-BD=OA,代入求出即可.
解:(1) 过B作BE⊥x轴于E,
则∠BEC=∠ACB=∠AOC=90°,
∴∠1+∠2=90°,∠1+∠OAC=90°,
∴∠2=∠OAC,
在△AOC和△CEB中
∵,
∴△AOC≌△CEB(AAS),
∴OA=CE,OC=BE,
∵A(0,-2),C(1,0),
∴OA=CE=2,OC=BE=1,
∴OE=1+2=3,
∴点B的坐标为(3,-1);
(2)结论:
证明:作BE⊥x轴于E,
∴∠1=90°=∠2,
∴∠3+∠4=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠5+∠3=90°,
∴∠5=∠4,
在△CEB和△AOC中,
∵
∴△CEB≌△AOC,
∴AO=CE,
∵BE⊥x轴于E,
∴BE∥y轴,
∵BD⊥y轴于点D,EO⊥y轴于点O,
∴BD∥OE,
∴四边形OEBD是长方形,
∴EO=BD,
∴OC-BD=OC-EO=CE=AO,
∴
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【题目】如图,已知点A(1,a)是反比例函数的图象上一点,直线与反比例函数的图象的交点为点B、D,且B(3,﹣1),求:
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求点D坐标,并直接写出y1>y2时x的取值范围;
(3)动点P(x,0)在x轴的正半轴上运动,当线段PA与线段PB之差达到最大时,求点P的坐标.
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【题目】如图所示,已知:点A(0,0),B(,0),C(0,1)在△ABC内依次作等边三角形,使一边在x轴上,另一个顶点在BC边上,作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1,第2个△B1A2B2,第3个△B2A3B3,…,则第个等边三角形的边长等于__________.
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【题目】(1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF=90°.求证:BE=CF.
(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH=90°, EF=4.求GH的长.
(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH=90°,EF=4. 直接写出下列两题的答案:
①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长;
②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).
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【题目】下列命题:①如果3、4、5为一组勾股数,那么3k、4k、5k仍是勾股数;②含有45°角的直角三角形的三边长之比是1∶1:;③如果一个三角形的三边是9,12,13,那么此三角形是直角三角形;④一个直角三角形的两边长是3和4,它的斜边是5.其中正确的个数是 ( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,在一棵树CD的10m高处的B点有两只猴子,它们都要到A处池塘边喝水,其中一只猴子沿树爬下走到离树20m处的池塘A处,另一只猴子爬到树顶D后直线跃入池塘的A处.如果两只猴子所经过的路程相等,试问这棵树多高?
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【题目】已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣4)﹣m2=0.
(1)求证:对任意实数m,方程总有2个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是2,求m的值及方程的另一个根.
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【题目】如图,一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A(3,4),其中一次函数与y轴交于B点,且OA=OB.
(1)求这两个函数的表达式;
(2)求△AOB的面积S.
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【题目】如图,已知直线a∥b,且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点B到直线b的距离为3,AB=.试在直线a上找一点M,在直线b上找一点N,满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短,则此时AM+NB=
A.6 B.8 C.10 D.12
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