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【题目】已知:在平面直角坐标系中,ABC的顶点AC分别在y轴、x轴上,且∠ACB=90°AC=BC

1)如图1,当A0-2),C10),点B在第四象限时,求点B的坐标;
2)如图2,当点Cx轴正半轴上运动,点Ay轴正半轴上运动,点B在第四象限时,作BDy轴于点D,试判断是一个定值,并说明定值是多少?请证明你的结论.

【答案】1)(3-1);(2

【解析】

1)过BBEx轴于E,推出∠2=OAC,∠AOC=BEC,根据AAS证△AOC≌△CEB,推出OA=CEOC=BE,根据AC的坐标即可求出答案;
2)作BEx轴于E,得出矩形OEBD,推出BD=OE,证△CEB≌△AOC,推出AO=CE,求出OC-BD=OA,代入求出即可.

解:(1 BBEx轴于E
则∠BEC=ACB=AOC=90°
∴∠1+2=90°,∠1+OAC=90°
∴∠2=OAC
在△AOC和△CEB

∴△AOC≌△CEBAAS),
OA=CEOC=BE
A0-2),C10),
OA=CE=2OC=BE=1
OE=1+2=3
∴点B的坐标为(3-1);

2)结论:
证明:作BEx轴于E


∴∠1=90°=2
∴∠3+4=90°
∵∠ACB=90°
∴∠5+3=90°
∴∠5=4
在△CEB和△AOC中,


∴△CEB≌△AOC
AO=CE
BEx轴于E
BEy轴,
BDy轴于点DEOy轴于点O
BDOE
∴四边形OEBD是长方形,
EO=BD
OC-BD=OC-EO=CE=AO

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