Question

4．在小学，我们已经初步了解到，正方形的每个角都是90°，每个边都是相等．如图，在正方形ABCD外侧作直线AQ，点D关于直线AQ的对称点为E，连接DE、BE，BE交AD于点F，若∠QAD=15°．
（1）求∠ABE的度数；
（2）若AB=6，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）连接AE，由对称的性质得出AE=AD，AQ垂直平分DE，得出∠EAQ=∠QAD=15°，由正方形的性质得出∠BAD=90°，AB=AD，求出∠BAE=120°，AE=AB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果；
（2）作A⊥BE于M，则∠AMB=∠AMF=90°，得出AM=$\frac{1}{2}$AB=3，证明△AMF是等腰直角三角形，得出AF=$\sqrt{2}$AM，即可得出结果．

解答 解：（1）连接AE，如图1所示：
∵点D关于直线AQ的对称点为E，
∴AE=AD，AQ垂直平分DE，
∴∠EAQ=∠QAD=15°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠BAE=15°+15°+90°=120°，AE=AB，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°；
（2）作A⊥BE于M，如图2所示：
则∠AMB=∠AMF=90°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=3，
∵∠1=90°-30°=60°，
∴∠2=90°-60°=30°，
∴∠FAM=15°+30°=45°，
∴△AMF是等腰直角三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$AM=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．