Question

【题目】如图1，已知点、在直线上，且，于点，且，以为直径在的左侧作半圆，于，且，

（1）若半圆上有一点，则的最大值为__________，最小值为__________；

（2）向右沿直线平移得到；

①如图2，若截半圆的弧的长为，求的度数；

②当半圆与的边相切时，求平移距离．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①75°；②或.

【解析】

（1）当和重合时，最大，用勾股定理可求；连接，此时最小，为；

（2）①连接，，依据弧长公式，求出，证得是等边三角形，求出，得出，依据平行线的判定及性质求出，依据等腰直角三角形的性质求出，最后求得；

②分、分别与半圆相切两种情况讨论，依据切线的性质与判定、切线长定理、锐角三角函数求解即可.

解：（1）当和重合时，的最大值为,由勾股定理计算得，

连接，此时最小，为=；

故答案为：，；

（2）①连接，，

∵弧的长为

∴

又∵，

∴是等边三角形，

∴

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴

又∵，

∴，

∴；

②当切半圆于时，连接，则，

∵，

∴切半圆于点，

∴

又∵，

∴，

平移距离为

当切半圆于时，连接并延长交于点，

∵，，，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴

∴，

∴平移距离为.

综上所述：平移距离为或.