Question

【题目】已知点A（﹣4，8）和点B（2，n）在抛物线y＝ax2上．

（Ⅰ）求该抛物线的解析式和顶点坐标，并求出n的值；

（Ⅱ）求点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求此时点Q的坐标；

（Ⅲ）平移抛物线y＝ax2，记平移后点A的对应点为A'，点B的对应点为B'，点C（﹣2，0）是x轴上的定点．

①当抛物线向左平移到某个位置时，A'C+CB'最短，求此时抛物线的解析式；

②D（﹣4，0）是x轴上的定点，当抛物线向左平移到某个位置时，四边形A'B'CD的周长最短，求此时抛物线的解析式（直接写出结果即可）．

Answer 1

【答案】（I）y＝；（0，0）；2；（II）P（2，﹣2）；Q（，0）；（III）①y＝（x+）2；②y＝（x+）2．

【解析】

（I）把（﹣4，8）代入y＝ax2可求得a的值，可得抛物线的解析式，这条抛物线的顶点是原点，把x＝2代入所求的抛物线解析式，可得n的值；

（II）求得AP与x轴的交点即为Q的坐标；

（III）①先计算CQ的长，可知平移的距离和方向，用顶点式设出相应的函数解析式，把新顶点坐标代入即可；

②左右平移时，使A′D+DB′′最短即可，那么作出点A′关于x轴对称点的坐标为A′′，得到直线A′′B′′的解析式，将点D的坐标代入，可得b的值，同理用顶点式设出相应的函数解析式，把新顶点坐标代入即可．

解：（I）将点A（﹣4，8）的坐标代入y＝ax2，

解得a＝，

∴抛物线的解析式是y＝，顶点坐标是（0，0），

将点B（2，n）的坐标代入y＝x2，得n＝＝2；

（II）由（I）知：点B的坐标为（2，2），

则点B关于x轴对称点P的坐标为（2，﹣2），

如图1，连接AP与x轴的交点为Q，此时AQ+BQ最小，

设直线AP的解析式为y＝kx+b，，

解得：

∴直线AP的解析式是y＝﹣x+，

令y＝0，得x＝，

即所求点Q的坐标是（，0）；

（III）①∵点C（﹣2，0），点Q的坐标是（ ，0）

∴CQ＝﹣（﹣2）＝，

故将抛物线y＝x2向左平移个单位时，A′C+CB′最短，

此时抛物线的函数解析式为y＝（x+）2；

②左右平移抛物线y＝x2，

∵线段A′B′和CD的长是定值，

∴要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短；

第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′在增大，

∴不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短；

第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，如图2，

则点A′和点B′的坐标分别为A′（﹣4﹣b，8）和B′（2﹣b，2）．

∵CD＝2，

∴将点B′向左平移2个单位得B′′（﹣b，2），要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短，

∵点A′关于x轴对称点的坐标为A′′（﹣4﹣b，﹣8），

由A'和B'两点的坐标得：直线A′′B′′的解析式为y＝x+b+2．

要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，

将点D（﹣4，0）代入直线A′′B′′的解析式，解得b＝．

∴将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，

此时抛物线的函数解析式为y＝（x+）2．