Question

【题目】如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．

（1）求证：BD＝CE；

（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；

（3）在（2）的条件下，若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1

【解析】

（1）由等边三角形的性质和旋转的性质可得∠DAB＝∠CAE，AB＝AC，AD＝AE，即可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE；

（2）过点C作CG//BP，交EF的延长线于点G，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得CG＝BD，∠BDG＝∠G，∠BFD＝∠GFC，可证△BFD≌△CFG，可得结论；

（3）由题意可证点A，点F，点C，点E四点在以AC为直径的圆上，由直径是圆的最大弦可得EF的最大值．

证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE

∴AD＝AE,∠DAE＝60°

∴△ADE是等边三角形

∵△ABC为等边三角形

∴AB＝AC, ∠BAC＝∠DAE＝60°

∴∠DAB＝∠CAE,且AB＝AC,AD＝AE

∴△ADB≌△AEC（SAS）

∴BD＝CE

（2）如图,过点C作CG∥BP,交EF的延长线于点G

∵∠ADB＝90°, ∠ADE＝60°

∴∠BDG＝30°

∵CG∥BP

∴∠G＝∠BDG＝30°

∵△ADB≌△AEC

∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝90°

∴∠GEC＝∠AEC﹣∠AED＝30°

∴∠G＝∠GEC＝30°

∴GC＝CE

∴CG＝BD,且∠BDG＝∠G, ∠BFD＝∠GFC

∴△BFD≌△CFG（AAS）

∴BF＝FC

∴点F是BC中点

（3）如图，连接AF，

∵△ABC是等边三角形,BF＝FC

∴AF⊥BC

∴∠AFC＝90°

∴∠AFC＝∠AEC＝90°

∴点A,点F,点C,点E四点在以AC为直径的圆上

∴EF最大为直径，

即最大值为1