Question

【题目】如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以AD，OD为邻边作平行四边形ADOE，连接BE．

（1）求证：四边形AOBE是菱形；

（2）若∠EAO+∠DCO＝180°，DC＝3，求四边形ADOE的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

(1) 根据矩形的性质有OA=OB=OC=OD，根据四边形ADOE是平行四边形，得到OD∥AE，AE=OD. 等量代换得到AE=OB，即可证明四边形AOBE为平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；

(2)根据菱形的性质有∠EAB=∠BAO，根据矩形的性质有AB∥CD，根据平行线的性质有∠BAC=∠ACD，求出∠DCA=60°，求出AD=，根据面积公式SΔADC，即可求解．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴DO＝BO．

∵四边形ADOE是平行四边形，

∴AE∥DO，AE＝DO，AD∥OE．

∴AE∥BO，AE＝BO．

∴四边形AOBE是平行四边形．

∵AD⊥AB，AD∥OE，

∴AB⊥OE．

∴四边形AOBE是菱形；

（2）设AB与EO交点为M．

∵AB∥CD，

∴∠DCO＝∠BAO．

∵四边形AOBE是菱形，

∴∠EAO＝2∠BAO．

∵∠EAO+∠DCO＝180°，

∴∠BAO＝120°，∠EAM＝60°．

又AM＝AB＝，

∴EM＝，

∴EO＝，

∴△AEO面积为××＝，

∴四边形ADOE面积＝．