Question

【题目】如图，的平分线过点，以点为圆心的圆与相切于点，为的直径．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求；

（3）若的半径为，，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，（2）（3）

【解析】

(1)过点O作OH⊥PB，证明OH=OC即可；

(2)由圆周角定理求出∠COD=2∠E=50°，由切线求出∠COP的度数，∠COD-∠COP即可得到答案；

(3)在Rt△CDE中，由三角函数先求出∠E的度数为30°，进而求出圆心角∠COE=120°，再由扇形面积公式算出扇形COE的面积，再加上等边△CDO的面积及得到阴影部分的面积.

解：(1)证明：过点O作OH⊥PB于H点，如下图所示：

∵AP为圆O的切线，且C为切点

∴CO⊥PC

∵PO为∠APB的角平分线，且CO⊥PC，OH⊥PB

∴OH=OC

故PB是圆O的切线.

(2)∵∠CPO=50°，且CP⊥CO

∴∠COP=90°-50°=40°

又由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可知

∠COD=2∠E=2×25°=50°

∴∠POD=∠COD-∠COP=50°-40°=10°.

故答案为：10°.

(3)∵DE为圆O的直径

∴在Rt△DEC中，

∴∠E=30°

∴∠COE=180°-30°-30°=120°

∴扇形COE的面积为：

∴△CDO的面积为：

故阴影部分的面积为：

故答案为：