【题目】如图,已知抛物线经过点A(-3,0),C(0,3),交x轴于另一点B,其顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线上一点,直线CP交x轴于点E,若△CAE与△OCD相似,求P点坐标;
(3)如果点F在y轴上,点M在直线AC上,那么在抛物线上是否存在点N,使得以C,F,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出菱形的周长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)P或;(3)存在菱形,其周长为,或.
【解析】
(1)将A,C两点坐标代入中求出b,c即可得解;
(2)根据题意进行分类讨论,两种情况,,从而求出E点坐标及CE解析式即可求出点P坐标;
(3)根据题意,分类讨论,两种情况CF为对角线,CF为菱形的一边,进而即可求得菱形的周长.
(1)∵抛物线经过点,
∴,解得
此抛物线解析式为:;
(2)∵
∴顶点
∵,,
∴,,,
∴点E只能在A点左边
①如下图,若
则
∴
∴
∴
∵
∴
联立
∴,(舍去)
∴;
②若
则
∴AE=2
∴
∴
∵
∴
联立
∴,(舍去)
得
因此,或;
(3)在抛物线上存在点N,使得以C,F,M,N为顶点的四边形是菱形
①若CF为对角线,则CF与NM互相垂直平分时,四边形CNFM为菱形
∵
∴
∴,四边形CNFM为正方形
∴N点与顶点D重合
∵
∴,
∴菱形CNFM的周长为;
②若CF为菱形的一边,则,,NM=NF时,四边形CNFM为菱形
过F作FH⊥NM于H,设直线NM交x轴于G,
则,
∴NM===NF
∵,
∴
∴NF=FH
又FH=OG=
∴=
∴ 或
∴NF=或NF=菱形周长为或
因此,存在菱形,其周长为,或.
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【题目】如图,分别以的边为腰向外作等腰和等腰,连是的中线.
(1)知识理解:图①所示,当时,则与的位置关系为______,数量关系为______;
(2)知识应用:图②所示,当时,M,N分别是BC,DE的中点,求证:且;
(3)拓展提高:图③所示,四边形中,,分别以边和为腰作等腰和等腰,连,分别取、的中点,连.
①求证:;
②直接写出之间的数量关系.
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【题目】如图,线段AB经过⊙O的圆心O,交⊙O于A、C两点,BC=1,AD为⊙O的弦,连结BD,∠BAD=∠ABD=30°.
(1)求证:直线BD是⊙O的切线;
(2)求⊙O的半径长.
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【题目】只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数.我国数学家陈景润哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都表示为两个素数的和”,如10=3+7.
(1)从7,11,13,17这4个素数中随机抽取一个,则抽到的数是11的概率是_____;
(2)从7,11,13,17这4个素数中随机抽取1个数,再从余下的3个数中随机抽取1个数,用画树状图或列表的方法,求抽到的两个素数之和等于24的概率.
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【题目】(1)问题发现:如图1,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,点D、F分别在边AB、AC上,请直接写出线段BD、CF的数量和位置关系;
(2)拓展探究:如图2,当正方形ADEF绕点A逆时针旋转锐角θ时,上述结论还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-1.5,0),B(0,2),将△ABO顺着x轴的正半轴无滑动的滚动,第一次滚动到①的位置,点B的对应点记作B1;第二次滚动到②的位置,点B1的对应点记作B2;第三次滚动到③的位置,点B2的对应点记作B3;;依次进行下去,则点B2020的坐标为__________.
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【题目】某水果商场经销一种高档水果,原价每千克25元,连续两次涨价后每千克水果现在的价格为36元.
(1)若每次涨价的百分率相同.求每次涨价的百分率;
(2)若进价不变,按现价售出,每千克可获利15元,但该水果出现滞销,商场决定降价m元出售,同时把降价的幅度m控制在的范围,经市场调查发现,每天销售量 (千克)与降价的幅度m(元)成正比例,且当时,. 求与 m的函数解析式;
(3)在(2)的条件下,若商场每天销售该水果盈利元,为确保每天盈利最大,该水果每千克应降价多少元?
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