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【题目】如图,已知抛物线经过点A(-30)C(03),交x轴于另一点B,其顶点为D

1)求抛物线的解析式;

2)点P为抛物线上一点,直线CPx轴于点E,若△CAE与△OCD相似,求P点坐标;

3)如果点Fy轴上,点M在直线AC上,那么在抛物线上是否存在点N,使得以CFMN为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出菱形的周长;若不存在,请说明理由.

【答案】1;(2P;(3)存在菱形,其周长为

【解析】

1)将AC两点坐标代入中求出bc即可得解;

2)根据题意进行分类讨论,两种情况,从而求出E点坐标及CE解析式即可求出点P坐标;

3)根据题意,分类讨论,两种情况CF为对角线,CF为菱形的一边,进而即可求得菱形的周长.

1)∵抛物线经过点

,解得

此抛物线解析式为:

2)∵

∴顶点

∴点E只能在A点左边

①如下图,若

联立

(舍去)

②若

AE=2

联立

(舍去)

因此,

3)在抛物线上存在点N,使得以CFMN为顶点的四边形是菱形

①若CF为对角线,则CFNM互相垂直平分时,四边形CNFM为菱形

,四边形CNFM为正方形

N点与顶点D重合

∴菱形CNFM的周长为

②若CF为菱形的一边,则NM=NF时,四边形CNFM为菱形

FFHNMH,设直线NMx轴于G

,

NM===NF

NF=FH

FH=OG=

=

NF=NF=菱形周长为

因此,存在菱形,其周长为.

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