【题目】如图,分别以的边为腰向外作等腰和等腰,连是的中线.
(1)知识理解:图①所示,当时,则与的位置关系为______,数量关系为______;
(2)知识应用:图②所示,当时,M,N分别是BC,DE的中点,求证:且;
(3)拓展提高:图③所示,四边形中,,分别以边和为腰作等腰和等腰,连,分别取、的中点,连.
①求证:;
②直接写出之间的数量关系.
【答案】(1),;(2)详见解析;(3)①详见解析;②
【解析】
(1)根据题意,延长FA交BC于点H,通过等腰三角形的相关性质得到全等条件,从而证明,进而即可得解;
(2)根据题意,延长CA至F,使,FA交DE于点P,并连接BF,先证明,再根据等角的余角相等以及中位线的性质即可得解;
(3)①根据题意,将沿AH方向平移至,沿DH方向平移至,连接EN,FQ,NG,QG,延长HG至S,使GS=GH,连接HS,QS,通过证明及进而即可得解;②通过上述问题得到的结论结合进行求解即可得解.
(1),
证明:如下图所示,延长FA交BC于点H
∵AB=AC,与为等腰直角三角形
∴
∴与为等腰三角形,
,
∵
∴
∴
∵AF是的中线,
∴
∴
∵
∴
∴,
在与中
∴
∴,
∴
∵
∴
∴,;
(2)证明:如下图,延长CA至F,使,FA交DE于点P,并连接BF
∵与为等腰直角三角形
∴,,,
∵,
∴
在与中
∴
∴,
∴
∴
又∵,M是BC中点
∴,
∴,;
(3)①证明:将沿AH方向平移至,沿DH方向平移至,
连接EN,FQ,NG,QG,延长HG至S,使GS=GH,连接HS,QS
∵AH=DH,,,,
∴,
又∵EG=FG
∴
∴GN=GQ,
∵E,G,F三点共线
∴N,G,Q三点共线
∴四边形NHQS是平行四边形
∴,
∵
∴
∵
∴
∴
∵,
∴
∴
∴
∴
∴
∴;
②
证明:∵
∴.
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【题目】为争创文明城市,我市交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动.在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民,就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查,并将两次收集的数据制成如下统计图表.
类别 | 人数 | 百分比 |
A | 68 | 6.8% |
B | 245 | b% |
C | a | 51% |
D | 177 | 17.7% |
总计 | c | 100% |
根据以上提供的信息解决下列问题:
(1)a= ,b= c=
(2)若我市约有30万人使用电瓶车,请分别计算活动前和活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数.
(3)经过某十字路口,汽车无法继续直行只可左转或右转,电动车不受限制,现有一辆汽车和一辆电动车同时到达该路口,用画树状图或列表的方法求汽车和电动车都向左转的概率.
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【题目】英语老师对某班级全班同学进行口语测试,并按10分制评分,将评分结果制成了如图两幅统计图(不完整).请根据图表信息,解答下列问题:
(1)求该班级学生总人数,并将条形统计图补充完整;
(2)求该班学生口语测试所得分数的平均分;
(3)英语老师将随机邀请该班一名同学进行口语对话,求事件“英语老师邀请得分为9分的同学进行口语对话”发生的概率.
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【题目】为了解阳光社区年龄20~60岁居民对垃圾分类的认识,学校课外实践小组随机抽取了该社区、该年龄段的部分居民进行了问卷调查,并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图.图中A表示“全部能分类”,B表示“基本能分类”,C表示“略知一二”,D表示“完全不会”.请根据图中信息解答下列问题:
(1)补全条形统计图并填空:被调查的总人数是 人,扇形图中D部分所对应的圆心角的度数为 ;
(2)若该社区中年龄20~60岁的居民约3000人,请根据上述调查结果,估计该社区中C类有多少人?
(3)根据统计数据,结合生活实际,请你对社区垃圾分类工作提一条合理的建议.
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【题目】“推进全科阅读,培育时代新人”.某学校为了更好地开展学生读书活动,随机调查了九年级50名学生最近一周的读书时间,统计数据如下表:
时间(小时) | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
人数 | 5 | 8 | 12 | 15 | 10 |
(1)根据上述表格补全下面的条形统计图;
(2)写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数;
(3)若该校有1000名学生,求最近一周的读书时间不少于7小时的人数?
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【题目】2019年12月17日,我国第一艘国产航母“山东舰”在海南三亚交付海军.在民族复兴的路上我们伟大的祖国又前进了一大步!如图,“山东舰”在一次试水测试中,由东向西航行到达处时,测得小岛位于距离航母30海里的北偏东37°方向.“山东舰”再向西匀速航行1.5小时后到达处,此时测得小岛位于航母的北偏东70°方向.
(1)_______°;
(2)求航母的速度.(参考数据:,,,,,)
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【题目】已知函数,其中,当时,;当时,;
(1)根据给定的条件,则_________,____________.
(2)在给出的平面直角坐标系中,画出函数图像;
(3)①结合所画的图像,直接写出方程的解,解为________________.(精确到十分位)
②若一次函数的图像与的图像有且只有三个交点,则的取值范围是__________.
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【题目】如图,在△ABC中,tan∠BACtan∠ABC=1,⊙O经过A、B两点,分别交AC、BC于D、E两点,若DE=10,AB=24,则⊙O的半径为____.
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【题目】如图,已知抛物线经过点A(-3,0),C(0,3),交x轴于另一点B,其顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线上一点,直线CP交x轴于点E,若△CAE与△OCD相似,求P点坐标;
(3)如果点F在y轴上,点M在直线AC上,那么在抛物线上是否存在点N,使得以C,F,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出菱形的周长;若不存在,请说明理由.
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