Question

1．如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD的中点，点E的横坐标为m，A、E是函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上的两个动点，且该函数图象经过点（1，3）．
（1）求k的值；
（2）求点C的坐标（用m表示）；
（3）矩形ABCD有可能是正方形吗？若可能，请求出m的值；若不可能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把（1，3）代入反比例函数解析式即可；
（2）BG=CG，求出OB即可，A在反比例函数解析式上，求出AB，即A的纵坐标，代入求出A的横坐标，求出BG和CG，求出OC，即可求出答案；
（3当矩形ABCD有可能是正方形时，∠ABD=45°，AD=BC=m，根据正方形的性质可得AB=BD，进而可得方程$\frac{6}{m}$=m，再求解即可．

解答 解：（1）由函数y=$\frac{k}{x}$图象过点（1，3）则可把点（1，3）坐标代入y=$\frac{k}{x}$中，得k=3；

（2）连接AC，则AC过E，过E做EG⊥BC交BC于G点，
∵点E的横坐标为m，E在双曲线y=$\frac{3}{x}$上，
∴E的纵坐标是y=$\frac{3}{m}$，
∵E为BD中点，
∴由平行四边形性质得出E为AC中点，
∴BG=GC=$\frac{1}{2}$BC，
∴AB=2EG=$\frac{6}{m}$，
即A点的纵坐标是$\frac{6}{m}$，
代入双曲线y=$\frac{3}{x}$得：A的横坐标是$\frac{1}{2}$m，
∴OB=$\frac{1}{2}$m，
即BG=GC=m-$\frac{1}{2}$m=$\frac{1}{2}$m，
∴CO=$\frac{1}{2}$m+m=$\frac{3}{2}$m，
∴点C（$\frac{3}{2}$m，0）．

（3）矩形ABCD有可能是正方形，
当矩形ABCD有可能是正方形时，AB=AD，AD=BC=m，
∴$\frac{6}{m}$=m，
即m²=6，
∴m=±$\sqrt{6}$，
∵m＞0，
∴m=-$\sqrt{6}$不合题意，舍去，
∴m=$\sqrt{6}$．

点评 此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，以及矩形的性质，关键是掌握凡是函数经过的点必能满足解析式，矩形对角线互相平分且相等．