【题目】如图1，
与
都是等腰直角三角形，直角边
，
在同一条直线上，点
、
分别是斜边
、
的中点，点
为
的中点，连接
，
，
，
，
．
（1）观察猜想：
图1中，与的数量关系是______，位置关系是______．
（2）探究证明：
将图1中的绕着点
顺时针旋转
（
），得到图2，与
、分别交于点
、
，请判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：
把绕点任意旋转，若
，
，请直接列式求出
面积的最大值．
【答案】（1）
，
；（2）结论仍成立，证明见解析；（3）
的面积的最大值
【解析】
（1）延长AE交BD于点H，易证
，得
，
，进而得
，结合中位线的性质，得
，
，
，
，进而得，；
（2）设
交
于
，易证，得，，进而得
，结合中位线的性质，得，，，，进而得，；
（3）易证是等腰直角三角形，，当
、
、
共线时，
的值最大，进而即可求解．
（1）如图1，延长AE交BD于点H，
∵
和
是等腰直角三角形，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∴（SAS），
∴，，
又∵
，
∴
，
∵点
、
、
分别为
、
、
的中点，
∴，，，，
∴，
∴PM⊥AH，
∴．
故答案是：，；
（2）（1）中的结论仍成立，理由如下：
如图②中，设交于，
∵和是等腰直角三角形，
∴，，
，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，
又∵
，
∴
，
∵点、、分别为、、的中点，
∴，，，，
∴，
∴
，
∴
，
∴
，
∴；
（3）由（2）可知是等腰直角三角形，，
∴当的值最大时，
的值最大，的面积最大，
∴当、、共线时，的最大值
，
∴
，
∴的面积的最大值
．
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【题目】下面各问题中给出的两个变量x，y，其中y是x的函数的是
① x是正方形的边长，y是这个正方形的面积；
② x是矩形的一边长，y是这个矩形的周长；
③ x是一个正数，y是这个正数的平方根；
④ x是一个正数，y是这个正数的算术平方根．
A. ①②③B. ①②④C. ②④D. ①④
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【题目】在平面直角坐标系中,A(1,0),B(0,2),C(-4,2),若以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标为________________。
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【题目】某校要从甲、乙两名同学中挑选一人参加创新能力大赛，在最近的五次选拔测试中， 他俩的成绩分别如下表，请根据表中数据解答下列问题：
第 1 次 | 第 2 次 | 第 3 次 | 第 4 次 | 第 5 次 | 平均分 | 众数 | 中位数 | 方差 | |
甲 | 60 分 | 75 分 | 100 分 | 90 分 | 75 分 | 80 分 | 75 分 | 75 分 | 190 |
乙 | 70 分 | 90 分 | 100 分 | 80 分 | 80 分 | 80 分 | 80 分 |
（1）把表格补充完整：
（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是多少；若将 80 分以上（含 80 分） 的成绩视为优秀，则甲、乙两名同学在这五次测试中的优秀率分别是多少；
（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含 80分）就很可能获奖，成绩达到 90分以上（含90分）就很可能获得一等奖，那么你认为选谁参加比赛比较合适？说明你的理由．
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【题目】已知
，
.点
在
上以
的速度由点
向点
运动，同时点
在
上由点向点
运动，它们运动的时间为
．
（1）如图①，
，
，若点的运动速度与点的运动速度相等，当
时，
与
是否全等，请说明理由，并判断此时线段
和线段
的位置关系；
（2）如图②，将图①中的“，”为改“
”，其他条件不变．设点的运动速度为
，是否存在实数
，使得与全等？若存在，求出相应的、
的值；若不存在，请说明理由．
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【题目】如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=
（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．
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【题目】已知
为等边三角形，点
为直线
上一动点(点不与点
、点
重合)．连接
，以为边向逆时针方向作等边
，连接
，
（1）如图1，当点在边上时：
①求证：
；
②判断
之间的数量关系是 ；
（2）如图2，当点在边的延长线上时，其他条件不变，判断之间存在的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当点在边的反向延长线上时，其他条件不变，请直接写出之间存在的数量关系为 ．
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