Question

【题目】已知为等边三角形，点为直线上一动点(点不与点、点重合)．连接，以为边向逆时针方向作等边，连接，

（1）如图1，当点在边上时：

①求证：；

②判断之间的数量关系是 ；

（2）如图2，当点在边的延长线上时，其他条件不变，判断之间存在的数量关系，并写出证明过程；

（3）如图3，当点在边的反向延长线上时，其他条件不变，请直接写出之间存在的数量关系为 ．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②AC=CE+CD；（2）CE=AC+CD，证明见解析；（3）CD=CE+AC．

【解析】

（1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE；②由△ABD≌△ACE就可以得出AC=BC=CD+CE；
（2）同（1）先证明△ABD≌△ACE，从而可得出BD=BC+CD=AC+CD=CE；

（3）同（1）先证明△ABD≌△ACE，从而可得出CE+AC=CD．

解：（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②∵△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
∵BC=BD+CD，
∴BC=CE+CD，

∴AC=CE+CD，

故答案为：AC=CE+CD；
（2）AC+CD=CE．证明如下：
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
∵BD=BC+CD，
∴CE=AC+CD；

（3）DC=CE+BC．证明如下：
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
∵CD=BD+BC，
∴CD=CE+AC．

故答案为：CD=CE+AC．