【题目】已知为等边三角形,点
为直线
上一动点(点
不与点
、点
重合).连接
,以
为边向逆时针方向作等边
,连接
,
(1)如图1,当点在边
上时:
①求证:;
②判断之间的数量关系是 ;
(2)如图2,当点在边
的延长线上时,其他条件不变,判断
之间存在的数量关系,并写出证明过程;
(3)如图3,当点在边
的反向延长线上时,其他条件不变,请直接写出
之间存在的数量关系为 .
【答案】(1)①见解析;②AC=CE+CD;(2)CE=AC+CD,证明见解析;(3)CD=CE+AC.
【解析】
(1)①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°,AB=AC,AD=AE,进而就可以得出△ABD≌△ACE;②由△ABD≌△ACE就可以得出AC=BC=CD+CE;
(2)同(1)先证明△ABD≌△ACE,从而可得出BD=BC+CD=AC+CD=CE;
(3)同(1)先证明△ABD≌△ACE,从而可得出CE+AC=CD.
解:(1)①∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴∠BAC=∠DAE=60°,AB=BC=AC,AD=DE=AE.
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
∴∠BAD=∠EAC.
在△ABD和△ACE中
,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
②∵△ABD≌△ACE,
∴BD=CE.
∵BC=BD+CD,
∴BC=CE+CD,
∴AC=CE+CD,
故答案为:AC=CE+CD;
(2)AC+CD=CE.证明如下:
∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴∠BAC=∠DAE=60°,AB=BC=AC,AD=DE=AE.
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,
∴∠BAD=∠EAC.
在△ABD和△ACE中
,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD=CE.
∵BD=BC+CD,
∴CE=AC+CD;
(3)DC=CE+BC.证明如下:
∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴∠BAC=∠DAE=60°,AB=BC=AC,AD=DE=AE.
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,
∴∠BAD=∠EAC.
在△ABD和△ACE中
,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD=CE.
∵CD=BD+BC,
∴CD=CE+AC.
故答案为:CD=CE+AC.
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【题目】如图1,与
都是等腰直角三角形,直角边
,
在同一条直线上,点
、
分别是斜边
、
的中点,点
为
的中点,连接
,
,
,
,
.
(1)观察猜想:
图1中,与
的数量关系是______,位置关系是______.
(2)探究证明:
将图1中的绕着点
顺时针旋转
(
),得到图2,
与
、
分别交于点
、
,请判断(1)中的结论是否成立,若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展延伸:
把绕点
任意旋转,若
,
,请直接列式求出
面积的最大值.
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【题目】如图,由4个全等的正方形组成L形图案,请按下列要求画图:
(1)在图①中添加1个正方形,使它成轴对称图形(不能是中心对称图形);
(2)在图②中添加1个正方形,使它成中心对称图形(不能是轴对称图形);
(3)在图③中改变1个正方形的位置,从而得到一个新图形,使它既成中心对称图形,又成轴对称图形.
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【题目】如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于E、 F为AB上的一点,CF⊥AD于H,下列判断正确的有( )
A.AD是△ABE的角平分线B.BE是△ABD边AD上的中线
C.AH为△ABC的角平分线D.CH为△ACD边AD上的高
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【题目】如图在△ABC中,∠B=50°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,
(1)若△ABD的周长是19,AB=7,求BC的长;
(2)求∠BAD的度数.
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【题目】已知,如图,反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A(1,4),点B(m,-1),
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△OAB的面积;
(3)直接写出不等式x+b>的解.
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【题目】如图,小明想测量学校教学楼的高度,教学楼AB的后面有一建筑物CD,他测得当光线与地面成22°的夹角时,教学楼在建筑物的墙上留下高2米高的影子CE;而当光线与地面成45°的夹角时,教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离(点B,F,C在同一条直线上),则AE之间的长为_____米.(结果精确到lm,参考数据:sin22°≈0.375,cos22°≈0.9375,tan22°≈0.4)
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