Question

如图，已知矩形ABCD，△ABC的内切圆，OE⊥AD，OF⊥CD，垂足分别是E，F，求S_{四边形EOFD}：S_{四边形ABCD}．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：计算题

分析：延长EO交BC于M，延长FO交AB于N，作OH⊥AC于H，如图，设⊙O的半径为r，根据三角形内切圆的性质得到OM=ON=OH，易得四边形BMON为正方形，四边形ANOE和四边形OMCF为矩形，则AE=ON，CF=OM，所以AE=OH=CF，接着证明△AEP≌△OHP得到S_△AEP=S_△OHP，同理可得S_△AGF=S_△OGH，于是S_{四边形EOFD}=S_△AEP+S_{五边形PGFDE}+S_△CGF=S_△ADC，利用矩形的性质得S_{四边形ABCD}=2S_△ADC，所以S_{四边形EOFD}：S_{四边形ABCD}=1：2．

解答：解：延长EO交BC于M，延长FO交AB于N，作OH⊥AC于H，如图，设⊙O的半径为r，
∵OE⊥AD，OF⊥CD，
∴OM⊥BC，ON⊥AB，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OM=ON=OH，
∴四边形BMON为正方形，四边形ANOE和四边形OMCF为矩形，
∴AE=ON，CF=OM，
∴AE=OH=CF，
在△AEP和△OHP中，

∠AEP=∠OHP ∠1=∠2 AE=OH

，
∴△AEP≌△OHP（AAS），
∴S_△AEP=S_△OHP，
同理可得△AGF≌△OGH，
∴S_△AGF=S_△OGH，
∴S_{四边形EOFD}=S_△OHP+S_{五边形PGFDE}+S_△OGH
=S_△AEP+S_{五边形PGFDE}+S_△CGF
=S_△ADC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴S_{四边形ABCD}=2S_△ADC，
∴S_{四边形EOFD}：S_{四边形ABCD}=1：2．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质．