Question

【题目】如图，抛物线C1是二次函数y=x2﹣10x在第四象限的一段图象，它与x轴的交点是O、A1；将C1绕点A1旋转180°后得抛物线C2；交x轴于点A2；再将抛物线C2绕A2点旋转180°后得抛物线C3，交x轴于点A3；如此反复进行下去…

（1）抛物线C3与x轴的交点A3的坐标是多少？抛物线Cn与x轴的交点An的坐标是多少？

（2）若某段抛物线上有一点P（2016，a），试求a的值．

Answer 1

【答案】（1）A3的坐标为（30，0），抛物线Cn与x轴的交点An的坐标为（10n，0）；（2）24．

【解析】

试题分析：（1）通过解方程x2﹣10x=0可得到A1（10，0），则OA1=10，再利用旋转的性质得OA2=2OA1=20，OA3=3OA1=30，…，OAn=nOA1=10n，所以A3的坐标为（30，0），An的坐标为（10n，0）；

（2）由于2016=201×10+16，则可判断点P（2016，a）在抛物线C202上，利用（1）中的结论得到抛物线C202与x轴的交点坐标为（2010，0），（2020，0），抛物线开口向下，利用交点式写出抛物线C202的解析式为y=﹣（x﹣2010）（x﹣2020），然后计算自变量为2016所对应的函数值即可．

解：（1）当y=0时，x2﹣10x=0，解得x1=0，x2=10，则A1（10，0），OA1=10，

因为OA2=2OA1=20，OA3=3OA1=30，同理可得OAn=nOA1=10n，

所以A3的坐标为（30，0），抛物线Cn与x轴的交点An的坐标为（10n，0）；

（2）因为2016=201×10+16，

所以点P（2016，a）在抛物线C202上，

而抛物线C202与x轴的交点坐标为（2010，0），（2020，0），抛物线开口向下，

所以抛物线C202的解析式为y=﹣（x﹣2010）（x﹣2020），

把点P（2016，a）代入得a=﹣6×（﹣4）=24，

即a的值为24．