Question

如图，抛物线y=ax²+bx-3a经过A（-1，0）、C（0，3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D′的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，问在抛物线上是否存在点P，使∠DBP=45°？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将A，C点代入即可求得a、b的值，即可解题；
（2）将点D代入抛物线中即可求得m的值，可得点D的坐标，即可求得∠DCB=∠ABC=45°=∠BCO，可得点D关于BC的对称点D'落在OC上，即可解题；
（3）假设存在点P使得∠DBP=45°交y轴于点F，作D关于BC对称点D'，连接DD'交BC于点E，连接BD，AC，BF，易求BE=的长度，易证∠DBE=∠ABF，即可证明△FOB∽△DEB，可得

FO

DE

=

OB

BE

，即可求得点F坐标，即可求得直线BF解析式，即可求得直线BF与抛物线交点，即可解题．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-3a经过A（-1，0）、C（0，3）两点，
∴代入A，C点坐标得：

a-b-3a=0 -3a=3

，
解得：a=-1，b=2，
∴y=-x²+2x+3；
（2）将D点代入抛物线解析式得：m+1=-m²+2m+3，
解得：m₁=2，m₂=-1（不符合题意，舍去）
∴D点坐标（2，3）；
∴AB∥DC，
∴∠DCB=∠ABC=45°=∠BCO，
∴点D关于BC的对称点D'落在OC上，
∴CD=CD'=2，
∴D'坐标（0，1）；
（3）假设存在点P使得∠DBP=45°交y轴于点F，
作D关于BC对称点D'，连接DD'交BC于点E，连接BD，AC，BF，

∵-x²+2x+3=0时，x=-1或3，
∴点B坐标（3，0），
∴BC=3

2

，
∵CD=2，CD'=2，
∴DD'=2

2

，CE=

2

，BE=BC-CE=2

2

，
∵∠CBO=∠DBF=45°，
∴∠DBE=∠ABF，
∵∠DBP=∠ABC=45°，∠DBE=∠ABF，∠DEB=∠FOB=90°，
∴△FOB∽△DEB，
∴

FO

DE

=

OB

BE

，即

FO

2

=

3

2 2

，
∴FO=

3

2

，
∴F（0，

3

2

），
∵B（3，0），
设直线BC解析式为y=kx+b，代入B，F点坐标得：
直线BF解析式为y=-

1

2

x+

3

2

，
设直线BF与抛物线交点坐标为（x，y），
则

y=-x2+2x+3 y=- 1 2 x+ 3 2

，
解得：

x1=- 1 2 y1= 1 4

，

x2=3 y2=0

（不符合题意，舍去），
∴存在P点坐标为（-

1

2

，

1

4

）．

点评：本题考查了抛物线解析式的求解，考查了抛物线和直线交点坐标的求解，考查了直线解析式的求解，考查了相似三角形的判定和相似三角形对应边比例相等的性质，本题属于综合题，有一定难度．