Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点D为BC上一点，BD=2．过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE=∠B．
（1）求证：$\frac{AB}{AD}=\frac{DC}{DE}$；
（2）求线段EC的长度．

Answer 1

分析 （1）由条件可得到∠BAD=∠EDC，可证明△ABD∽△DCE，即可得到结论；
（2）由相似三角形的性质可得到$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BD}{CE}$，代入可求得EC．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC是△ABD的一个外角，
∴∠ACD=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，
又∵∠B=∠ADE，
∴∠BAD=∠EDC，
∴△ABD∽△DCE，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{CD}{DE}$；

（2）∵△ABD∽△DCE，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BD}{CE}$，
∵BC=6，BD=2，
∴CD=4，
∴$\frac{8}{4}$=$\frac{2}{EC}$，
解得EC=1．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质，由条件得到∠BAD=∠DCE证得△ABD∽△DCE是解题的关键．