Question

3．如图，已知抛物线y=ax²+bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），交y轴于点A，
（1）求此抛物线的解析式；
（2）抛物线第一象限上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，请求出MN+2ON的最大值，及此时点M坐标；
（3）抛物线顶点为K，KI⊥x轴于I点，一块三角板直角顶点P在线段KI上滑动，且一直角边过A点，另一直角边与x轴交于Q（m，0），请求出实数m的变化范围，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点B、C两点的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于a、b的方程组$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，通过解该方程组可以求得它们的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）首先假设出M点坐标，进而表示出MN，ON的长，进而求出最值；
（3）过A作AR⊥KI于R点，分当Q在KI左侧时，当Q在KI右侧时，两种情况讨论可得实数m的变化范围．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）设M点坐标为：（x，-x²+2x+3），则ON=x，MN=-x²+2x+3，
由题意可得：MN+2ON=-x²+2x+3+2x=-x²+4x+3=-（x-2）²+7，
x=2时，-x²+2x+3=3，故M（2，3），
则MN+2ON的最大值为：7，此时点M的坐标为：（2，3）；

（3）如图：过A作AR⊥KI于R点，则AR=KR=1．
当Q在KI左侧时，△ARP∽△PIQ．
设PI=n，则RP=3-n，
∴$\frac{1-m}{3-n}$=$\frac{n}{1}$，即n²-3n-m+1=0，
∵关于n的方程有解，△=（-3）²-4（-m+1）≥0，
得m≥-$\frac{5}{4}$；
当Q在KI右侧时，
Rt△APQ中，AR=RK=1，∠AKI=45°可得OQ=5．即P为点K时，
∴m≤5．
综上所述，m的变化范围为：-$\frac{5}{4}$≤m≤5．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质以及根的判别式以及二次函数最值求法等知识，正确利用分类讨论得出是解题关键．