Question

12．如图，在平面直角坐标系中，面积为16cm²的正方形AOBC的边OA、OB分别在y轴、x轴上，点P在x轴上自左向右运动，连接PA，将PA绕点P顺时针旋转90°到PD，连接DB，设PO=xcm．

（1）OA=4cm；
（2）在点P运动的过程中，△PDB的面积可以达到正方形面积的$\frac{3}{8}$吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
（3）连接AB，当点P在OB边上（不含点O、B）运动时，以点A为圆心、以AB为半径的圆与△PDB的边DB相切吗，为什么？

Answer 1

分析 （1）由正方形的面积即可得出OA的长；
（2）连接AD、AB，作DM⊥OB于M，则∠DMB=90°，由正方形的性质得出∠ABO=45°，OB=OA=4cm，由勾股定理得出AB，由旋转的性质得出∠APD=90°，PD=PA，证出△APD是等腰直角三角形，得出∠ADP=∠ABO，证出A、P、D、B四点共圆，由圆周角定理和圆内接四边形的性质得出∠BAD=∠BPD=∠PAO，∠ABD=90°，证出△BDM是等腰直角三角形，得出DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，证明△ABD∽△AOP，得出对应边成比例$\frac{BD}{OP}=\frac{AB}{OA}$，求出BD=$\sqrt{2}$xcm，得出DM=xcm，由△PDB的面积和正方形的面积关系得出方程，解方程即可；（3）连接AD，如图2所示：同（2）得：A、P、B、D四点共圆，由圆周角定理得出∠ABD=∠APD=90°，即BD⊥AB，即可得出结果．

解答 解：（1）由正方形的面积得：OA=$\sqrt{16}$=4（cm），
故答案为：4；
（2）△PDB的面积可以达到正方形面积的$\frac{3}{8}$，此时x=2；理由如下：
连接AD、AB，作DM⊥OB于M，则∠DMB=90°，如图1所示：
∵四边形AOBC是正方形，
∴∠ABO=45°，OB=OA=4cm，
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$cm，
由旋转的性质得：∠APD=90°，PD=PA，
∴△APD是等腰直角三角形，
∴∠ADP=45°=∠ABO，
∴A、P、D、B四点共圆，
∴∠ABD+∠APD=180°，∠BAD=∠BPD=∠PAO，
∴∠ABD=90°，
∴∠OBD=45°，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，
∵∠ABD=∠AOP=90°，
∴△ABD∽△AOP，
∴$\frac{BD}{OP}=\frac{AB}{OA}$，即$\frac{BD}{x}=\frac{4\sqrt{2}}{4}$，
∴BD=$\sqrt{2}$xcm，
∴DM=xcm，
∴△PDB的面积=$\frac{1}{2}$BP•DM=$\frac{1}{2}$（x+4）•x=$\frac{1}{2}$x²+2x，
当△PDB的面积=正方形AOBC面积的$\frac{3}{8}$时，
$\frac{1}{2}$x²+2x=$\frac{3}{8}$×16，
解得：x=2或x=-6（不合题意，舍去），
∴x=2；
（3）以点A为圆心、以AB为半径的圆与△PDB的边DB相切；理由如下：
连接AD，如图2所示：
同（2）得：A、P、B、D四点共圆，
∴∠ABD=∠APD=90°，
即BD⊥AB，
∴以点A为圆心、以AB为半径的圆与△PDB的边DB相切．

点评 本题是圆的综合题目，考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、切线的判定等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（2）和（3）中，需要证明四点共圆，运用圆周角定理和证明三角形相似才能得出结果．